Znalezienie sposobu na symulację liczb losowych dla tego rozkładu

Usiłuję napisać program w języku R, który symuluje pseudolosowe liczby z rozkładu za pomocą funkcji rozkładu skumulowanego:

$$F(x)= 1-\exp \left(-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right), \quad x \geq 0$$

gdzie$a,b>0, p \in (0,1)$

Próbowałem próbkowania z transformacją odwrotną, ale odwrotność nie wydaje się być analitycznie możliwa do rozwiązania. Byłbym zadowolony, gdybyś mógł zasugerować rozwiązanie tego problemu

Istnieje proste (i jeśli mogę dodać, eleganckie) rozwiązanie tego ćwiczenia: ponieważ $1-F(x)$ wygląda jak iloczyn dwóch rozkładów przeżycia:

$$(1-F(x))=\exp\left\{-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}=\underbrace{\exp\left\{-ax\right\}}_{1-F_1(x)}\underbrace{\exp\left\{-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}}_{1-F_2(x)}$$ rozkład$F$jest rozkładem $$X=\min\{X_1,X_2\}\qquad X_1\sim F_1\,,X_2\sim F_2$$ W tym przypadku$F_1$ jestrozkłademwykładniczym$\mathcal{E}(a)$ a$F_2$ jest$1/(p+1)$ -tą potęgąrozkładuwykładniczego$\mathcal{E}(b/(p+1))$ .

Powiązany kod R jest tak prosty, jak to tylko możliwe

x=pmin(rexp(n,a),rexp(n,b/(p+1))^(1/(p+1))) #simulating an n-sample

i jest zdecydowanie szybszy niż odwrotne pdf i rozdzielczości akceptowania-odrzucania:

> n=1e6
> system.time(results <- Vectorize(simulate,"prob")(runif(n)))
utilisateur     système      écoulé 
    89.060       0.072      89.124 
> system.time(x <- simuF(n,1,2,3))
utilisateur     système      écoulé 
     1.080       0.020       1.103 
> system.time(x <- pmin(rexp(n,a),rexp(n,b/(p+1))^(1/(p+1))))
utilisateur     système      écoulé 
     0.160       0.000       0.163 

z zaskakująco idealnym dopasowaniem:

Zawsze możesz rozwiązać liczbowo odwrotną transformację.

Poniżej przeprowadzam bardzo proste wyszukiwanie bisekcji. Dla danego prawdopodobieństwa wejściowego $q$ (używam $q$ ponieważ masz już $p$ we wzorze), zaczynam od $x_L=0$ i $x_R=1$ . Następnie podwajam $x_R$ aż $F(x_R)>q$ . Wreszcie iteracyjnie dzielę przedział $[x_L,x_R]$ dopóki jego długość nie będzie mniejsza niż $\epsilon$ a jego punkt środkowy $x_M$ spełni $F(x_M)\approx q$ .

ECDF pasuje do twojego $F$ wystarczająco dobrze dla moich wyborów $a$ i $b$ , i jest dość szybki. Prawdopodobnie można to przyspieszyć, stosując optymalizację typu Newtona zamiast prostego wyszukiwania bisekcji.

aa <- 2
bb <- 1
pp <- 0.1

cdf <- function(x) 1-exp(-aa*x-bb*x^(pp+1)/(pp+1))

simulate <- function(prob,epsilon=1e-5) {
    left <- 0
    right <- 1
    while ( cdf(right) < prob ) right <- 2*right

    while ( right-left>epsilon ) {
        middle <- mean(c(left,right))
        value_middle <- cdf(middle)
        if ( value_middle < prob ) left <- middle else right <- middle
    }

    mean(c(left,right))
}

set.seed(1)
results <- Vectorize(simulate,"prob")(runif(10000))
hist(results)

xx <- seq(0,max(results),by=.01)
plot(ecdf(results))
lines(xx,cdf(xx),col="red")

Jest nieco skomplikowane, jeśli bezpośrednie rozwiązanie przez akceptację-odrzucenie. Po pierwsze, proste różnicowanie pokazuje, że pdf rozkładu jest

$$f(x)=(a+bx^p)\exp\left\{-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}$$ $$f(x)=ae^{-ax}\underbrace{e^{-bx^{p+1}/(p+1)}}_{\le 1}+bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}\underbrace{e^{-ax}}_{\le 1}$$ $$f(x)\le g(x)=ae^{-ax}+bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}$$ $g$$\xi=x^{p+1}$$x=\xi^{1/(p+1)}$ $$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}\xi}=\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{1}{p+1}-1}=\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{-p}{p+1}}$$ $X$$\kappa bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}$$\kappa$ is the normalising constant, then $\Xi=X^{1/(p+1)}$ has the density $$\kappa b\xi^{\frac{p}{p+1}}e^{-b\xi/(p+1)}\,\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{-p}{p+1}}=\kappa \dfrac{b}{p+1}e^{-b\xi/(p+1)}$$ which means that (i) $\Xi$ is distributed as an Exponential $\mathcal{E}(b/(p+1))$ variate and (ii) the constant $\kappa$ is equal to one. Therefore, $g(x)$ ends up being equal to the equally weighted mixture of an Exponential $\mathcal{E}(a)$ distribution and the $1/(p+1)$-th power of an Exponential $\mathcal{E}(b/(p+1))$ distribution, modulo a missing multiplicative constant of $2$ to account for the weights: $$f(x)\le g(x)=2\left(\frac{1}{2} ae^{-ax}+\frac{1}{2} bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}\right)$$ I $g$ można łatwo symulować jako mieszaninę.

Renderowanie R algorytmu akceptacji-odrzucenia jest zatem

simuF <- function(a,b,p){
  reepeat=TRUE
  while (reepeat){
   if (runif(1)<.5) x=rexp(1,a) else
      x=rexp(1,b/(p+1))^(1/(p+1))
   reepeat=(runif(1)>(a+b*x^p)*exp(-a*x-b*x^(p+1)/(p+1))/
      (a*exp(-a*x)+b*x^p*exp(-b*x^(p+1)/(p+1))))}
  return(x)}

i dla próbki n:

simuF <- function(n,a,b,p){
  sampl=NULL
  while (length(sampl)<n){
   x=u=sample(0:1,n,rep=TRUE)
   x[u==0]=rexp(sum(u==0),b/(p+1))^(1/(p+1))
   x[u==1]=rexp(sum(u==1),a)
   sampl=c(sampl,x[runif(n)<(a+b*x^p)*exp(-a*x-b*x^(p+1)/(p+1))/
      (a*exp(-a*x)+b*x^p*exp(-b*x^(p+1)/(p+1)))])
   }
  return(sampl[1:n])}

Oto ilustracja dla a = 1, b = 2, p = 3: