Jak udowodnić, że nie ma skończonej przestrzeni cech dla jądra Gaussa RBF?

Jak udowodnić, że dla radialnej funkcji bazowej nie jest ograniczony-wymiarowej przestrzeni funkcjaHtak, że w przypadku niektórychcp:Rn→Hmamyk(x,y)=⟨Φ(x),Φ(y)⟩?$k(x, y) = \exp(-\frac{||x-y||^2)}{2\sigma^2})$$H$$\Phi: \text{R}^n \to H$$k(x, y) = \langle \Phi(x), \Phi(y)\rangle$

Twierdzenie Moore'a-Aronszajna gwarantuje, że symetryczne dodatnie określone jądro jest powiązane z unikalną przestrzenią jądra Hilberta. (Pamiętaj, że chociaż RKHS jest unikalny, samo mapowanie nie jest.)

Dlatego na twoje pytanie można odpowiedzieć, pokazując nieskończenie wymiarowe RKHS odpowiadające jądru Gaussa (lub RBF). Dogłębne studium tego można znaleźć w „ Wyraźnym opisie przestrzeni Hilberta jąder reprodukujących jąder Gaussa RBF ”, Steinwart i in.

$k(x, y)$$X \times X$$X$$x_1, ..., x_m \in X$$(k(x_i, x_j))_{m \times m}$$\mathrm\Phi(x_1), ..., \mathrm\Phi(x_m)$są liniowo niezależne. Zatem przestrzeń funkcji$H$ dla jądra $k$ nie może mieć skończonej liczby wymiarów.