W mojej pracy, gdy osoby odnoszą się do „średniej” wartości zbioru danych, zwykle odnoszą się do średniej arytmetycznej (tj. „Średniej” lub „wartości oczekiwanej”). Gdybym podał średnią geometryczną , ludzie prawdopodobnie pomyśleliby, że jestem złośliwy lub nieprzydatny, ponieważ definicja „środka” jest znana z góry.

Próbuję ustalić, czy istnieje wiele definicji „mediany” zestawu danych. Na przykład jedna z definicji podanych przez współpracownika w celu znalezienia mediany zbioru danych z parzystą liczbą elementów to:

Algorytm „A”

• Podziel liczbę elementów przez dwa, zaokrąglaj w dół.
• Ta wartość jest indeksem mediany.
• tzn. dla następującego zestawu mediana wynosiłaby 5.
• [4, 5, 6, 7]

Wydaje się to mieć sens, choć zaokrąglanie w dół wydaje się nieco arbitralne.

Algorytm „B”

W każdym razie inny kolega zaproponował osobny algorytm, który znajdował się w jego podręczniku statystyk (trzeba uzyskać nazwisko i autora):

• Podziel liczbę elementów przez 2 i zachowaj kopię zaokrąglonych w górę i zaokrąglonych w dół liczb całkowitych. Nazwij je n_loi n_hi.
• Weź średnią arytmetyczną elementów w n_loi n_hi.
• tzn. dla następującego zestawu mediana wynosiłaby (5+6)/2 = 5.5.
• [4, 5, 6, 7]

Wydaje się to błędne, ponieważ 5.5w tym przypadku wartość mediany nie znajduje się w oryginalnym zestawie danych. Kiedy zamieniliśmy algorytm „A” na „B” w jakimś kodzie testowym, złamał się on okropnie (zgodnie z naszymi oczekiwaniami).

Pytanie

Czy istnieje formalna „nazwa” dla tych dwóch podejść do obliczania mediany zbioru danych? tj. „mediana mniejszej z dwóch” w porównaniu z „medianą średnich elementów i stworzyć nowe dane”?

TL; DR - Nie jestem świadomy tego, że konkretne nazwy nadawane są różnym estymatorom przykładowych median. Metody szacowania przykładowych statystyk z niektórych danych są dość wybredne, a różne zasoby podają różne definicje.

W Hogg, McKean i Craig's Introduction to Mathematical Statistics autorzy podają definicję median losowych próbek , ale tylko w przypadku nieparzystej liczby próbek! Autorzy piszą

$n$$Y_{(n+1)/2}$

$Y_i$$i$

$n$

Algorytm B ma właściwość polegającą na tym, że połowa danych spada powyżej wartości, a połowa danych spada poniżej wartości. W świetle definicji mediany zmiennej losowej wydaje się to przyjemne.

To, czy dany estymator psuje testy jednostkowe, jest właściwością testów jednostkowych - testy jednostkowe napisane na konkretnym estymatorze niekoniecznie będą obowiązywać, gdy zastąpisz inny estymator. W idealnym przypadku testy jednostkowe wybrano, ponieważ odzwierciedlają one krytyczne potrzeby Twojej organizacji, a nie z powodu argumentów doktrynalnych dotyczących definicji.

Co mówi @Sycorax.

W rzeczywistości istnieje zaskakująco wiele definicji ogólnych kwantyli, a zwłaszcza median. Hyndman i Fan (1996, The American Statistician ) podają ogólny zarys, że AFAIK jest wciąż obszerny. Różne typy nie mają formalnych nazw. Być może będziesz musiał po prostu wyjaśnić, jakiego typu używasz. (Często nie robi to dużej różnicy w przypadku zestawów danych o realistycznych rozmiarach).

Należy zauważyć, że powszechnie przyjmuje się, że wartość nie jest obecna w zbiorze danych jako mediana, np. 5,5 jako mediana dla (4, 5, 6, 7). To jest domyślne zachowanie dla R:

> median(4:7)
[1] 5.5

R's median()domyślnie używa typu 7 z klasyfikacji Hyndman & Fan.

W madfunkcji R używa terminów „lo-mediana” do opisania algorytmu A, „hi-mediana” do opisania zaokrąglania w górę, a po prostu „mediana” do opisania algorytmu B (który, jak zauważyli inni, jest zdecydowanie najczęstsza definicja).

Co ciekawe, median()funkcja R nie ma takiej opcji ! (Ale R quantile()ma typedobrą kontrolę).