Dlaczego wykładnicze współczynniki regresji logistycznej są uważane za „iloraz szans”?

Regresja logistyczna modeluje dzienne szanse zdarzenia jako pewien zestaw predyktorów. To znaczy, log (p / (1-p)), gdzie p jest prawdopodobieństwem pewnego wyniku. Zatem interpretacja surowych współczynników regresji logistycznej dla niektórych zmiennych (x) musi być zgodna z logarytmiczną skalą szans. Oznacza to, że jeśli współczynnik dla x = 5, to wiemy, że zmiana o 1 jednostkę x odpowiada zmianie o 5 jednostek na logarytmicznej skali szans, że nastąpi wynik.

Jednak często widzę, jak ludzie interpretują wykładnicze współczynniki regresji logistycznej jako iloraz szans. Jednak wyraźnie exp (log (p / (1-p))) = p / (1-p), co jest szansą. O ile rozumiem, iloraz szans to prawdopodobieństwo wystąpienia jednego zdarzenia (np. P / (1-p) dla zdarzenia A) w stosunku do prawdopodobieństwa innego zdarzenia (np. P / (1-p) dla zdarzenia B).

Czego tu brakuje? Wydaje się, że ta powszechna interpretacja wykładniczych współczynników regresji logistycznej jest nieprawidłowa.

@ Odpowiedź Laconic jest, moim zdaniem, świetna i kompletna. Chciałem dodać, że oryginalne współczynniki opisują różnicę w logarytmicznych szansach dla dwóch jednostek, które różnią się o 1 w predyktorze. Np. Dla współczynnika na 5 możemy powiedzieć, że różnica w logarytmicznych szansach między dwiema jednostkami, które różnią się na o 1, wynosi 5. Matematycznie,$X$$X$

$$\beta = \log(\text{odds}(p|X=x_0+1))-\log(\text{odds}(p|X=x_0))$$

Kiedy potęgujesz , otrzymujesz$\beta$

$$\exp(\beta) = \exp(\log(\text{odds}(p|X=x_0+1))-\log(\text{odds}(p|X=x_0))) \\ = \frac{\exp(\log(\text{odds}(p|X=x_0+1)))}{\exp(\log(\text{odds}((p|X=x_0)))} \\ = \frac{\text{odds}(p|X=x_0+1)}{\text{odds}(p|X=x_0))}$$

który jest ilorazem szans, ilorazem szans.

Rozważmy dwa zestawy warunków, pierwszy opisany przez wektor zmiennych niezależnych , a drugi opisany przez wektor , który różni się tylko i-tą zmienną , i jedną jednostką. Niech będzie jak zwykle wektorem parametrów modelu.X ′ x i$X$$X'$$x_i$$\beta$

Zgodnie z modelem regresji logistycznej prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w pierwszym przypadku wynosi , więc prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia wynosi . p$p_1 = \frac{1}{1 + \exp(-X \beta)}$$\frac{p_1}{1-p_1} = \exp(X \beta)$

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w drugim przypadku wynosi , więc prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia wynosi .$p_2 = \frac{1}{1 + \exp(-X' \beta)}$$\frac{p_2}{1-p_2} = \exp(X' \beta) = \exp(X \beta + \beta_i)$

Stosunek szans w drugim przypadku do szans w pierwszym przypadku wynosi zatem . Stąd interpretacja wykładniczego parametru jako iloraz szans.$\exp(\beta_i)$