Bezstronna ocena mediany

Załóżmy, że mamy losową zmienną $X$ obsługiwaną na $[0,1]$ z której możemy czerpać próbki. Jak możemy bezstronnie oszacować medianę $X$ ?

Możemy oczywiście wygenerować niektóre próbki i pobrać medianę próbki, ale rozumiem, że generalnie nie będzie to obiektywne.

Uwaga: to pytanie jest powiązane, ale nie identyczne, z moim ostatnim pytaniem , w którym to przypadku próbka $X$ mogła zostać pobrana jedynie w przybliżeniu.

Taki estymator nie istnieje.

Intuicja polega na tym, że mediana może pozostać stała, podczas gdy swobodnie przesuwamy gęstość prawdopodobieństwa po obu jej stronach, tak że każdy estymator, którego średnia wartość jest medianą dla jednego rozkładu, będzie miał inną średnią dla zmienionego rozkładu, czyniąc go tendencyjnym. Poniższa ekspozycja dodaje nieco więcej rygorystyczności tej intuicji.

Skupiamy się na rozkład mających unikalnie mediany m , tak że definicja F ( m ) ≥ 1 / 2 i F ( x ) < 1 / 2 dla wszystkich x < m . Ustal wielkość próbki n ≥ 1 i załóżmy, że t : [ 0 , 1 ] n → [ 0 , 1 ] szacuje m . (Wystarczy, że $F$$m$$F(m) \ge 1/2$$F(x) \lt 1/2$$x \lt m$$n \ge 1$$t: [0,1]^n \to [0,1]$$m$$t$ograniczać się, ale zwykle nie bierze się poważnie pod uwagę estymatorów, które dają wartości oczywiście niemożliwe.) Nie przyjmujemy żadnych założeń dotyczących ; nigdzie nie musi być ciągła.$t$

Znaczenie bycia obiektywnym (dla tej ustalonej wielkości próby) jest takie$t$

dla każdej próbki z IID . Określenie „Estymator nieobciążony” t jest jednym z obiektu dla wszystkich taki F .$X_i \sim F$$t$$F$

Załóżmy, że istnieje obiektywny estymator. Wywołamy sprzeczność, stosując ją do szczególnie prostego zestawu dystrybucji. Rozważ rozkłady mające następujące właściwości:$F = F_{x,y,m, \varepsilon}$

1. ;$0 \le x \lt y \le 1$

2. ;$0 \lt \varepsilon \lt (y-x)/4$

3. ;$x + \varepsilon \lt m \lt y - \varepsilon$

4. ;$\Pr(X = x) = \Pr(X = y) = (1-\varepsilon)/2$

5. ; i$\Pr(m-\varepsilon \le X \le m+\varepsilon) = \varepsilon$

6. jest jednorodne na [ m - ε , m + ε ] .$F$$[m-\varepsilon, m+\varepsilon]$

Te rozkłady prawdopodobieństwa miejsce w każdym z X i Y, i niewielka ilość prawdopodobieństwa symetrycznie wokół m pomiędzy x i y . To sprawia$(1-\varepsilon)/2$$x$$y$$m$$x$$y$ wyjątkową medianę F . (Jeśli obawiasz się, że nie jest to rozkład ciągły, to zmień go bardzo wąskim gaussowskim i skróć wynik do [ 0 , 1 ] : argument się nie zmieni.)$m$$F$$[0,1]$

Teraz, dla każdego przypuszczalnego estymatora mediany , łatwe oszacowanie pokazuje, że E [ t ( X 1 , X 2 , … , X n ) ] jest ściśle w zakresie ε od średniej z 2 n wartości t ( x 1 , x 2 , … , X n ) gdzie x i różnią się we wszystkich możliwych kombinacjach x i y . Możemy jednak różnić $t$$E[t(X_1, X_2, \ldots, X_n)]$$\varepsilon$$2^n$$t(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$x_i$$x$$y$$m$pomiędzy i y - ε , zmiana co najmniej ε x , y , m , ε , dla którego to oczekiwanie nie jest równe medianie, QED.$x + \varepsilon$$y - \varepsilon$$\varepsilon$(na podstawie warunków 2 i 3). Tak więc istnieje , i stąd odpowiedni rozkład $m$$F_{x,y,m,\varepsilon}$

Znalezienie obiektywnego estymatora bez modelu parametrycznego byłoby trudne! Ale możesz użyć ładowania początkowego i użyć tego do skorygowania mediany empirycznej, aby uzyskać przybliżony estymator.

Wierzę, że regresja kwantowa da ci spójny estymator mediany. Biorąc pod uwagę model . I chcesz oszacować med ( y ) = med ( α + u ) = α + med ( u ), ponieważ α jest stałą. Wszystko czego potrzebujesz to med ( u ) = 0, które powinny być prawdziwe, o ile masz niezależne losowania. Jeśli chodzi o bezstronność, nie wiem. Medianie są trudni.$Y = \alpha + u$$\text{med}(y) = \text{med}(\alpha + u) = \alpha + \text{med}(u)$$\alpha$$\text{med}(u) = 0$