Dodam trzecią metodę, dla urozmaicenia: budowanie jądra z sekwencji ogólnych kroków znanych z tworzenia jąder pd. Niech oznaczają domenę ziaren poniżej i cp map fabularnych.Xφ
Skalowanie:
Jeśli jest jądrem pd, to także γ κ dla dowolnej stałej γ > 0 .κγκγ>0
Dowód: jeśli jest mapą funkcji dla , jest prawidłową mapą funkcji dla .φ√κγκγ−−√φγκ
Sumy:
Jeśli i są jądrami pd, podobnie jest z .κ 2 κ 1 + κ 2κ1κ2κ1+κ2
Dowód: Połącz mapy obiektów i , aby uzyskać .φ 2 x ↦ [ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) ]φ1φ2x↦[φ1(x)φ2(x)]
Limity:
Jeśli są jądrami pd, a istnieje dla wszystkich , to to pd.κ ( x , y ) : = lim n → ∞ κ n ( x , y ) x , y κκ1,κ2,…κ(x,y):=limn→∞κn(x,y)x,yκ
Dowód: Dla każdego i każdego mamy to . Przyjmowanie limitu jako daje tę samą właściwość dla .{ ( x i , c i ) } m i = 1 ⊆ X × R ∑ m i = 1 c i κ n ( x i , x j ) c j ≥ 0 n → ∞ κm,n≥1{(xi,ci)}mi=1⊆X×R∑mi=1ciκn(xi,xj)cj≥0n→∞κ
Produkty:
Jeśli i są jądrami pd, to też .κ 2 g ( x , y ) = κ 1 ( x , y )κ1κ2)sol( x , y) = κ1( x , y)κ2)( x , y)
Dowód: bezpośrednio wynika z twierdzenia o produkcie Schur , ale Schölkopf i Smola (2002) dają następujący ładny, elementarny dowód. Niech
bądź niezależny. Zatem
Macierze kowariancji muszą być psd, więc biorąc pod uwagę macierz kowariancji to potwierdza. C o v ( V i W i , V j W j ) = C o v ( V i , V j )
( V1, … , Vm) ∼ N( 0 , [ κ1( xja, xjot) ]I j)( W.1, … , Wm) ∼ N( 0 , [ κ2)( xja, xjot) ]I j)
( V 1 W 1 , … , V n W n )C o v ( VjaW.ja, VjotW.jot) = C o v ( Vja, Vjot)C o v ( Wja, Wjot) = κ1( xja, xjot) κ2)( xja, xjot) .
( V1W.1, … , VnW.n)
Uprawnienia:
Jeśli jest jądrem pd, podobnie jest dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej .κ n ( x , y ) : = κ ( x , y ) n nκκn( x , y) : = κ ( x , y)nn
Dowód: bezpośrednio z właściwości „produktów”.
Wykładniki:
Jeśli jest jądrem pd, podobnie jak .e κ ( x , y ) : = exp ( κ ( x , y ) )κmiκ( x , y) : = exp( κ ( x , y) )
Dowód: Mamy
; użyj właściwości „potęgi”, „skalowania”, „sum” i „limitów”.miκ( x , y) = limN.→ ∞∑N.n = 01n !κ ( x , y)n
Funkcje:
Jeśli jest jądrem pd, a także , .f : X → R g ( x , y ) : = f ( x ) κ ( x , y ) f ( y )κfa: X→ Rsol( x , y) : = f( x ) κ ( x , y) f( y)
Dowód: użyj mapy funkcji .x ↦ f( x ) φ ( x )
Teraz zauważ, że
Rozpocznij od jądra liniowego , zastosuj „skalowanie” za pomocą , zastosuj „wykładniki” i zastosuj „funkcje” za pomocą .