Redukcja wymiarów (SVD lub PCA) na dużej, rzadkiej matrycy

/ edit: Dalsze działania teraz możesz użyć irlba :: prcomp_irlba

/ edit: śledzenie mojego własnego posta. irlbama teraz argumenty „środkowy” i „skalowany”, które pozwalają go używać do obliczania podstawowych składników, np .:

pc <- M %*% irlba(M, nv=5, nu=0, center=colMeans(M), right_only=TRUE)$v

Mam dużą różnorodność Matrixfunkcji, których chciałbym użyć w algorytmie uczenia maszynowego:

library(Matrix)
set.seed(42)
rows <- 500000
cols <- 10000
i <- unlist(lapply(1:rows, function(i) rep(i, sample(1:5,1))))
j <- sample(1:cols, length(i), replace=TRUE)
M <- sparseMatrix(i, j)

Ponieważ ta macierz ma wiele kolumn, chciałbym sprowadzić jej wymiar do czegoś łatwiejszego w zarządzaniu. Mogę użyć doskonałego pakietu irlba do wykonania SVD i zwrócenia pierwszych n głównych komponentów (5 tutaj pokazanych; prawdopodobnie użyję 100 lub 500 w moim rzeczywistym zestawie danych):

library(irlba)
pc <- irlba(M, nu=5)$u

Jednak przeczytałem, że przed wykonaniem PCA należy wyśrodkować macierz (odjąć średnią z każdej kolumny). Jest to bardzo trudne do wykonania w moim zestawie danych, a ponadto zniszczyłoby rzadkość macierzy.

Jak „źle” jest wykonywać SVD na nieskalowanych danych i wprowadzać je bezpośrednio do algorytmu uczenia maszynowego? Czy istnieją wydajne sposoby skalowania tych danych przy jednoczesnym zachowaniu rzadkości macierzy?

/ edit: A, na który zwrócił moją uwagę B_miner, „komputery” powinny naprawdę być:

pc <- M %*% irlba(M, nv=5, nu=0)$v 

Myślę też, że odpowiedź Whubera powinna być dość łatwa do wdrożenia, dzięki crossprodfunkcji, która jest niezwykle szybka na rzadkich macierzach:

system.time(M_Mt <- crossprod(M)) # 0.463 seconds
system.time(means <- colMeans(M)) #0.003 seconds

Teraz nie jestem pewien, co zrobić z meanswektorem przed odjęciem M_Mt, ale opublikuję, gdy tylko go wymyślę.

/ edit3: Oto zmodyfikowana wersja kodu Whubera, wykorzystująca rzadkie operacje macierzowe na każdym etapie procesu. Jeśli możesz zapisać całą rzadką macierz w pamięci, działa ona bardzo szybko:

library('Matrix')
library('irlba')
set.seed(42)
m <- 500000
n <- 100
i <- unlist(lapply(1:m, function(i) rep(i, sample(25:50,1))))
j <- sample(1:n, length(i), replace=TRUE)
x <- sparseMatrix(i, j, x=runif(length(i)))

n_comp <- 50
system.time({
  xt.x <- crossprod(x)
  x.means <- colMeans(x)
  xt.x <- (xt.x - m * tcrossprod(x.means)) / (m-1)
  svd.0 <- irlba(xt.x, nu=0, nv=n_comp, tol=1e-10)
})
#user  system elapsed 
#0.148   0.030   2.923 

system.time(pca <- prcomp(x, center=TRUE))
#user  system elapsed 
#32.178   2.702  12.322

max(abs(pca$center - x.means))
max(abs(xt.x - cov(as.matrix(x))))
max(abs(abs(svd.0$v / pca$rotation[,1:n_comp]) - 1))

Jeśli ustawisz liczbę kolumn na 10 000, a liczbę głównych komponentów na 25, irlbaobliczenie 50 głównych komponentów na podstawie PCA zajmie około 17 minut i zużyje około 6 GB pamięci RAM, co nie jest takie złe.

Przede wszystkim naprawdę chcesz wyśrodkować dane . Jeśli nie, interpretacja geometryczna PCA pokazuje, że pierwszy główny składnik będzie zbliżony do wektora średnich, a wszystkie kolejne PC będą do niego ortogonalne, co uniemożliwi im zbliżenie się do dowolnych komputerów, które są blisko tego pierwszego wektora. Możemy mieć nadzieję, że większość późniejszych komputerów będzie w przybliżeniu poprawna, ale ich wartość jest wątpliwa, gdy prawdopodobne jest, że kilka pierwszych komputerów - najważniejszych - będzie zupełnie błędnych.

$X$$X X'$$10000$$10000$

$Y$$Z$$500000$$n$$m_Y$$m_Z$$\mathbf{1}$$n$$1$

$m_Y = \mathbf{1}\cdot Y / n$$m_Z = \mathbf{1}\cdot Z/n$

$X X'$$Y\cdot Z$$10000$$X X'$

Przykład

Rget.col$X$prcomp

m <- 500000 # Will be 500,000
n <- 100    # will be 10,000
library("Matrix")
x <- as(matrix(pmax(0,rnorm(m*n, mean=-2)), nrow=m), "sparseMatrix")
#
# Compute centered version of x'x by having at most two columns
# of x in memory at any time.
#
get.col <- function(i) x[,i] # Emulates reading a column
system.time({
  xt.x <- matrix(numeric(), n, n)
  x.means <- rep(numeric(), n)
  for (i in 1:n) {
    i.col <- get.col(i)
    x.means[i] <- mean(i.col)
    xt.x[i,i] <- sum(i.col * i.col)
    if (i < n) {
      for (j in (i+1):n) {
        j.col <- get.col(j)
        xt.x[i,j] <- xt.x[j,i] <- sum(j.col * i.col)
      }    
    }
  }
  xt.x <- (xt.x - m * outer(x.means, x.means, `*`)) / (m-1)
  svd.0 <- svd(xt.x / m)
}
)
system.time(pca <- prcomp(x, center=TRUE))
#
# Checks: all should be essentially zero.
#
max(abs(pca$center - x.means))
max(abs(xt.x - cov(x)))
max(abs(abs(svd.0$v / pca$rotation) - 1)) # (This is an unstable calculation.)