Jaka intuicja kryje się za różnicowaniem drugiego rzędu?

Czasami może zaistnieć potrzeba różnicowania serii czasowej, aby stała się stacjonarna. Nie rozumiem jednak, w jaki sposób różnicowanie drugiego rzędu może pomóc uczynić go nieruchomym, gdy różnicowanie pierwszego rzędu nie wystarczy.

Czy możesz podać intuicyjne wyjaśnienie różnicowania drugiego rzędu i przypadków, w których jest to potrzebne?

Różnicowanie drugiego rzędu jest dyskretną analogią do pochodnej drugiej. Dla dyskretnych szeregów czasowych różnica drugiego rzędu reprezentuje krzywiznę szeregu w danym punkcie czasu. Jeśli różnica drugiego rzędu jest dodatnia, wówczas szereg czasowy zakrzywia się w tym czasie w górę, a jeśli jest ujemny, wówczas szereg czasowy zakrzywia się w tym czasie w dół.

Różnica drugiego rzędu dyskretnych szeregów czasowych w czasie jest:$\{ X_t | t \in \mathbb{Z} \}$$t$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta^2 X_t = \Delta (\Delta X_t) &= \Delta (X_t-X_{t-1}) \\[6pt] &= \Delta X_t - \Delta X_{t-1} \\[6pt] &= (X_t-X_{t-1})-(X_{t-1}-X_{t-2}) \\[6pt] &= X_t - 2X_{t-1} + X_{t-2}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Jest to dodatnie, jeśli i ujemne, jeśli (i zero, jeśli ). Jeśli w tej chwili występuje więcej zmian w szeregu w górę (mniej w dół) niż w poprzednim czasie, oznacza to dodatnią krzywiznę, a jeśli w tej chwili jest mniej zmian w górę (więcej w dół) w serii niż w poprzednim czasie, występuje ujemna krzywizna.$\Delta X_t > \Delta X_{t-1}$$\Delta X_t < \Delta X_{t-1}$$\Delta X_t = \Delta X_{t-1}$

Dwie myśli:

Rekurencji . Co masz po różnicy pierwszego zamówienia? Kolejny szereg czasowy, który w odpowiednich warunkach jest bliższy stacjonarnemu. Jeśli nie jest wystarczająco blisko, masz teraz szereg czasowy, który nie jest stacjonarny i chcesz przenieść go bliżej do stacjonarnego, więc bierzesz różnicę pierwszego rzędu. (Która okazuje się być różnicą drugiego rzędu oryginalnej serii czasowej.) Jeśli zróżnicowana seria czasowa nie jest wystarczająco zbliżona do stacjonarnej, ty ... [recurse] ...

Pochodne . Wyobraź sobie, że zapisujesz lokalizację GPS samochodu co 10 minut. Gdybym mógł wziąć punkty GPS z dwóch dni i pokazać je tobie, a ty nie byłbyś w stanie dowiedzieć się, który to był dzień - być może nie byłby nawet w stanie powiedzieć jednego dnia od drugiego - twoje dane lokalizacji byłyby nieruchomy.

Ale powiedz, że jechałeś codziennie do innego pobliskiego miasta przez dwa tygodnie? Z łatwością potrafisz odróżnić dni - być może nawet dokładnie wiesz, który dzień ci pokazałem. Nie stacjonarny.

Być może, jeśli zamiast tego rejestrujesz swoją odległość od domu co 10 minut, Twoje dane stałyby się bardziej nieruchome. Odległość nie uwzględnia kierunku, więc może teraz Twoje dane z tych dwóch tygodni wyglądałyby tak samo? (Na przykład średnia lokalizacja to dom).

Powiedz zamiast tego, że zdecydowałeś się pojechać z Nowego Jorku prosto do Los Angeles. Trik na odległość nie zadziałałby, ponieważ dystans dałby ci całkiem wyraźne rozróżnienie między dniami.

Ale zamiast tego możesz rejestrować prędkość co 10 minut. Jeżdżąc przez kraj w systemie międzystanowym, dni wyglądałyby podobnie, pod względem prędkości. Oznacza to, że Twoja prędkość byłaby stacjonarna.

Powiedzmy, że lokalizacja w czasie 0 to , a 10 i 20 minut później to odpowiednio i . Dystans pokonany w każdym 10-minutowym przedziale wynosiłby i , co po podzieleniu przez przedział czasu daje prędkość (te same jednostki co prędkość, ale z kierunkiem). Druga różnica, to przyspieszenie. Jeśli prędkość jest nieruchoma, a pojazd jest w ciągłym ruchu, różnice w lokalizacji również byłyby nieruchome.$L_0$$L_1$$L_2$$D_1 = L_1 - L_0$$D_2 = L_2 - L_1$$A_2 = D_2 - D_1 = L_2 - 2 L_1 + L_0$