Znajdowanie krańcowych gęstości

Jak mówi tytuł, szukam krańcowych gęstości

f (x, y) = c \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}, x^{2} + y^{2} \leq 1.

$f (x,y) = c \sqrt{1 - x^2 - y^2}, x^2 + y^2 \leq 1.$

Do tej pory znalazłem to . Doszedłem do tego, przekształcając we współrzędne biegunowe i całkując nad , dlatego utknąłem w części gęstości marginalnej. Wiem, że , ale nie jestem pewien, jak to rozwiązać bez uzyskania dużej nieuporządkowanej całki, i wiem, że odpowiedź nie brzmi to miała być duża niechlujna całka. Czy zamiast tego można znaleźć , a następnie wziąć aby znaleźć $c$ $\frac{3}{2 \pi}$ $f(x,y)$ $drd\theta$ $f_x(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy$ $F(x,y)$ $\frac{dF}{dx}$ $f_x(x)$ ? To wydaje się być intuicyjnym sposobem na zrobienie tego, ale nie mogę znaleźć w moim podręczniku niczego, co określałoby te relacje, więc nie chciałem przyjmować błędnych założeń.

self-study marginal multivariable

— Jarrod
źródło

@kwak Nie jestem pewien, dlaczego zmiana tytułu była konieczna ... tag „zadanie domowe” powinien wystarczyć.

— Shane

@Shane:> ok zmieniono z powrotem na oryginał.

— user603,

Geometria pomaga tutaj. Wykres jest sferyczną kopułą o promieniu jednostkowym. (Wynika z tego natychmiast, że jego objętość jest o połowę mniejsza od kuli jednostkowej , skąd .) Gęstości krańcowe są podane przez obszary przekrojów pionowych przez ta kula. Oczywiście każdy przekrój jest półkolem: aby uzyskać gęstość brzeżną, znajdź jej promień jako funkcję pozostałej zmiennej i użyj wzoru na pole okręgu. Normalizacja wynikowej funkcji jednowymiarowej w celu uzyskania obszaru jednostki zamienia ją w gęstość. $f$ $(4 \pi /3)/2$ $c=3/(2 \pi)$

— Whuber
źródło

Achh, to w pewnym sensie wraca do mnie z rachunku różniczkowego. Pamiętam, że robiłem takie problemy. Jak znaleźć promień jako funkcję pozostałej zmiennej? Nadal wydaje się, że pozostanie mi jakaś całka potwora.

— Jarrod,

Niech pozostała zmienna będzie . Następnie opisuje region, w którym należy zintegrować. Najwyraźniej promień jest równy , skąd pole przekroju wynosi To dość prosta formuła :-). (Pamiętaj, że tematem jest tutaj geometria, a nie rachunek różniczkowy ...)

y

$y$

x^{2} \leq 1 - y^{2}

$x^2 \le 1-y^2$

\sqrt{1 - y^{2}}

$\sqrt{1 - y^2}$

π (1 - y^{2}) / 2.

$\pi (1 - y^2)/2.$

— whuber

Och, racja. To przyszło mi do głowy, ale wydawało się to zbyt proste. Myślę, że byłem zdeterminowany, aby było to skomplikowane. Dzięki!

— Jarrod,

Zapomniałem zapytać: w jaki sposób c się z tym wiąże?

— Jarrod,

Moim zdaniem odpowiedź Whubera zasługuje na uznanie z dwóch powodów. Po pierwsze odpowiada na zadane pytanie, po drugie jako model tego, w jaki sposób moglibyśmy w przyszłości poradzić sobie z (zadeklarowanymi) zadaniami domowymi: ten rodzaj odpowiedzi faktycznie przyczynia się do procesu uczenia się i może być lepszą polityką w odniesieniu do pytania o pracę domową niż przyjęta w MO / SO.

— user603,