Parametryzacja rozkładów Behrensa

„O problemie Behrensa – Fishera: przegląd” Seock-Ho Kim i Allena S. Cohena

Journal of Educational and Behavioral Statistics , tom 23, nr 4, Winter, 1998, strony 356–377

Patrzę na to i mówi:

Fisher (1935, 1939) wybrał statystykę [gdzie jest zwykłą -statystyczną próbką dla ] gdzie jest pobierane w pierwszej ćwiartce, a [. . . ] Rozkład jest rozkładem Behrensa – Fishera i jest zdefiniowany przez trzy parametry , i ,
$τ = \frac{δ - ({\bar{x}}_{2} - {\bar{x}}_{1})}{\sqrt{s_{1}^{2} / n_{1} + s_{2}^{2} / n_{2}}} = t_{2} \cos θ - t_{1} \sin θ$ $\tau = \frac{\delta-(\bar x_2 - \bar x_1)}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}} = t_2\cos\theta - t_1\sin\theta$ $t_i$ $t$ $i=1,2$ $\theta$ $\begin{matrix} (13) & \tan θ = \frac{s_{1} / \sqrt{n_{1}}}{s_{2} / \sqrt{n_{2}}} . \end{matrix}$ $\tan\theta = \frac{s_1/\sqrt{n_1}}{s_2/\sqrt{n_2}}.\tag{13}$ $\tau$ $\nu_1$ $\nu_2$ $\theta$

Parametry $\nu_i$ zostały wcześniej zdefiniowane jako $n_i-1$ dla $i=1,2$ .

Teraz rzeczy, których nie można zaobserwować, to a dwie populacje oznaczają , , których różnica wynosi , a w konsekwencji i dwie statystyki. Przykładowe SD i są obserwowalne i służą do zdefiniowania , dzięki czemu jest obserwowalną statystyką, a nie nieobserwowalnym parametrem populacji. Widzimy jednak, że jest wykorzystywany jako jeden z parametrów tej rodziny dystrybucji! $\delta$ $\mu_1$ $\mu_2$ $\delta$ $\tau$ $t$ $s_1$ $s_2$ $\theta$ $\theta$

Czy to możliwe, że powinni powiedzieć, że parametr jest zamiast ? $\dfrac{\sigma_1/\sqrt{n_1}}{\sigma_2/\sqrt{n_2}}$ $\dfrac{s_1/\sqrt{n_1}}{s_2/\sqrt{n_2}}$

distributions parameterization fiducial

— Michael Hardy
źródło

Rozkład Behrensa-Fishera jest zdefiniowany przez gdzie jest liczbą rzeczywistą, a i są niezależnymi rozkładami odpowiednio o stopniach swobody i . $t_2\cos\theta - t_1\sin\theta$ $\theta$ $t_2$ $t_1$ $t$ $\nu_2$ $\nu_1$

Rozwiązanie Behrensa-Fishera dotyczące problemu Behrensa-Fishera obejmuje rozkład Behrensa-Fishera z zależności od obserwacji, ponieważ jest to rozwiązanie pseudobayesowskie (w rzeczywistości powiernicze): ten rozkład zależny od danych jest rozkładem podobnym do tylnej of (z jedyną losową częścią definicji ponieważ dane są ustalone). $\theta$ $\tau$ $\delta$ $\tau$

— Stéphane Laurent
źródło

Mówisz więc, że jest to rozkład gdzie nie jest losowy , nawet jeśli mówią oraz i są losowe? Więc to jest rozkład warunkowy, biorąc pod uwagę stosunek wariancji? Wydaje mi się, że autorzy powinni być o wiele bardziej jednoznaczni.

t_{2} \cos θ - t_{1} \sin θ

$t_2\cos\theta - t_1\sin\theta$

θ

$\theta$

θ = \arctan \frac{s_{1} / \sqrt{n_{1}}}{s_{2} / \sqrt{n_{2}}}

$\theta=\arctan\dfrac{s_1/\sqrt{n_1}}{s_2/\sqrt{n_2}}$

s_{1}

$s_1$

s_{2}

$s_2$

— Michael Hardy,

Czy powinno to być postrzegane jako kolejny przykład techniki warunkowania Fishera na statystyce pomocniczej?

— Michael Hardy,

s_{1}

$s_1$ i są zależne od danych, ale dane są ustalone, to jest jak rozkład późniejszy w statystykach bayesowskich. W wyrażeniu , każdy z , , i jest stały, a jest losowy.

s_{2}

$s_2$

τ

$\tau$

{\bar{x}}_{1}

$\bar x_1$

{\bar{x}}_{2}

$\bar x_2$

s_{1}

$s_1$

s_{2}

$s_2$

δ

$\delta$

— Stéphane Laurent,

Odpowiedz na twój drugi komentarz: Nie wiem. Oto podstawowe statystyki.

— Stéphane Laurent,

Zgodnie z tą odpowiedzią cała losowość w i pochodzi od losowości w i , a reszta jest ustalona. Jednak uzasadnieniem dla stwierdzenia, że i mają określone przypisane im rozkłady prawdopodobieństwa, jest rozkład danych. Czy powinniśmy po prostu powiedzieć „to dlatego, że jest to wnioskowanie frykcyjne”?

t_{1}

$t_1$

t_{2}

$t_2$

μ_{1}

$\mu_1$

μ_{2}

$\mu_2$

t_{1}

$t_1$

t_{2}

$t_2$

— Michael Hardy,

Parametryzacja rozkładów Behrensa – Fishera