Czy test Mantela można rozszerzyć na macierze asymetryczne?

Test Mantela jest zwykle stosowany do symetrycznych macierzy odległości / różnic. O ile rozumiem, założeniem testu jest to, że miarą używaną do definiowania różnic musi być co najmniej półmetryka (spełniać standardowe wymagania metryki, ale nie nierówność trójkąta).

Czy założenie symetrii może być złagodzone (dając pre-metrykę)? Czy w tym przypadku można zastosować test permutacji przy użyciu pełnej matrycy?

Nie trzeba go przedłużać. Oryginalny test Mantela, przedstawiony w pracy Mantela z 1967 r. , Pozwala na zastosowanie matryc asymetrycznych. Przypomnijmy, że ten test porównuje dwa odległość macierzy X i Y .$n\times n$$X$$Y$

W tym momencie możemy spodziewać się modyfikacji naszej statystyki, która uprości procedury statystyczne, które zostaną opracowane poniżej. Modyfikacja polega na usunięciu ograniczenia i zastąpieniu go wyłącznie ograniczeniem i ≠ j . Gdzie X i j = X j I i Y i j = Y j I , efekt modyfikacji jest po prostu dokładnie podwoić wartość sumowania. Jednak opracowane wówczas procedury są odpowiednie, nawet gdy relacje odległości nie są symetryczne, to znaczy, gdy możliwe jest, że $i\lt j$$i\ne j$$X_{ij} = X_{ji}$$Y_{ij} = Y_{ji}$ a Y i j ≠ Y j i ; szczególny przypadek następnie pokryta jest gdzie X i j =- X j I , Y i j =- Y j ja ...$X_{ij} \ne X_{ji}$$Y_{ij} \ne Y_{ji}$$X_{ij} = -X_{ji}, Y_{ij} = -Y_{ji}$

(w sekcji 4; wyróżnienie dodane).

Symetria wydaje się być sztucznym warunkiem w wielu programach, takich jak ade4pakiet R, który wykorzystuje obiekty klasy „dist” do przechowywania i manipulowania macierzami odległości. Funkcje manipulacji zakładają, że odległości są symetryczne. Z tego powodu nie można zastosować jego mantel.rtestprocedury do macierzy asymetrycznych - jest to jednak wyłącznie ograniczenie programowe, a nie właściwość samego testu.

Sam test nie wydaje się wymagać żadnych właściwości macierzy. Oczywiście (dzięki wyraźnemu odwołaniu do odwołań antysymetrycznych na końcu poprzedniego fragmentu) nie trzeba nawet, aby wpisy w lub Y były dodatnie. Jest to jedynie test permutacyjny, który wykorzystuje pewną miarę korelacji dwóch macierzy (uważanych za wektory z n 2 elementami) jako statystyki testowej.$X$$Y$$n^2$

W zasadzie możemy wymienić możliwe permutacje naszych danych, oblicz Z [statystykę testu] dla każdej permutacji i uzyskaj zerowy rozkład Z, na podstawie którego można ocenić obserwowaną wartość $n!$$Z$$Z$$Z$

[ Tamże. ]

W rzeczywistości Mantel wyraźnie wskazał, że matryce nie muszą być matrycami odległości, i podkreślił znaczenie tej możliwości :

$X_{ij}$$Y_{ij}$$X_{ik} \le X_{ij} + X_{jk}$$X_{ij}$$Y_{ij}$

(W przykładzie podano nierówność trójkąta).

$n$$n-1$

$Z=\sum\sum X_{ij}Y_{ij}$

Podsumowując, od samego początku każdy z aksjomatów metrycznych był wyraźnie uważany i odrzucany jako nieistotny dla testu:

1. „Odległości” mogą być ujemne.

2. „Odległości” między obiektem a nim samym mogą być niezerowe.

3. Trójkątna nierówność nie musi się utrzymywać.

4. „Odległości” nie muszą być symetryczne.

$Z=\sum_{i,j} X_{ij}Y_{ij}$

To jest przykład testu w R. Biorąc pod uwagę dwie macierze odległości xi yzwraca próbkę rozkładu permutacji (jako wektor wartości statystyki testowej). Nie wymaga tego xani nie yma żadnych szczególnych właściwości. Muszą mieć tylko ten sam rozmiar macierzy kwadratowej.

mantel <- function(x, y, n.iter=999, stat=function(a,b) sum(a*b)) {
  permute <- function(z) {
    i <- sample.int(nrow(z), nrow(z))
    return (z[i, i])
  }
  sapply(1:n.iter, function(i) stat(x, permute(y)))
}