Oczekiwana wartość wyznacznika logarytmicznego macierzy Wishart

Niech , tj. zgodnie z rozkładem wymiarowym Wishart ze średnią i stopniami swobody . Chciałbym wyrażenie dla gdziejest wyznacznikiem. $\Lambda \sim \mathcal W_D(\nu, \Psi)$ $D \times D$ $\nu \Psi$ $\nu$ $E(\log |\Lambda|)$ $|\Lambda|$

Odpowiedziałem trochę na google i otrzymałem sprzeczne informacje. W niniejszym dokumencie wyraźnie stwierdzono, że gdzie oznacza funkcję digamma ; artykuł nie podaje źródła tego faktu, o ile mogę powiedzieć. Jest to również formuła stosowana na stronie wikipedii dla Wishart , który zawiera tekst Bishop's Pattern Recognition.

mi (\log | Λ |) = re \log 2) + \log | Ψ | + \sum_{ja = 1}^{re} ψ (\frac{ν - ja + 1}{2)})

$E(\log|\Lambda|) = D \log 2 + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

ψ (\cdot)

$\psi(\cdot)$

\frac{d}{d x} \log Γ (x)

$\frac d {dx} \log \Gamma(x)$

Z drugiej strony, Google podniósł tę dyskusję w powiązanym dokumencie, który stwierdza, że zakończenie stwierdzają, że który wywodzi się z faktu, że . Sprawdziłem to obliczenie, zaczynając od i wydaje się być w porządku, ale mamy dodatkowe .

ν^{re} \frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2)} χ_{ν - 1}^{2)} \dots χ_{ν - re + 1}^{2)} . (†)

$\nu^D \frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger)$

mi (\log | Λ |) = re \log 2) - re \log ν + \log | Ψ | + \sum_{ja = 1}^{re} ψ (\frac{ν - ja + 1}{2)})

$E(\log | \Lambda|) = D \log 2 - D \log \nu + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

E (\log χ_{ν}^{2}) = \log (2) + ψ (ν / 2)

$E(\log \chi^2_\nu) = \log(2) + \psi(\nu /2)$

(†)

$(\dagger)$

- D \log ν

$-D\log\nu$

distributions wishart

— chłopak
źródło

Przygotowując się do opublikowania tego, mogłem odpowiedzieć na własne pytanie. Zgodnie z ogólną etykietą StackExchange postanowiłem opublikować ją mimo to w nadziei, że ktoś, kto napotka ten problem, może to znaleźć w przyszłości, być może po napotkaniu tych samych problemów ze źródłami, które zrobiłem. Postanowiłem odpowiedzieć na nią natychmiast, aby nikt nie tracił czasu, ponieważ rozwiązanie nie jest interesujące.

$(\dagger)$ jest niepoprawny, ponieważ artykuł, do którego prowadzi dyskusja, używał innej parametryzacji Wishart; dyskutanci tego nie zauważyli. To, co powinniśmy faktycznie mieć, to Po tej korekcie dwie formuły prowadzą do tej samej odpowiedzi.

\frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2)} χ_{ν - 1}^{2)} \dots χ_{ν - re + 1}^{2)} . († †)

$\frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger\dagger)$

W każdym razie myślę, że to interesujący związek. $(\dagger\dagger)$

EDYTOWAĆ:

Zgodnie z radą probabilisticlogic możemy napisać gdzie dolny trójkątny ma elementów poza przekątną i elementy na przekątnej. Biorąc determinant obu stron daje natychmiast . $\Lambda \stackrel d = \Psi^{1/2} L L^T \Psi^{1/2}$ $L$ $N(0, 1)$ $\sqrt{\chi^2_{\nu - i + 1}}, (i = 1, ..., D)$ $(\dagger\dagger)$

— chłopak
źródło

Bardziej podoba mi się wersja Cholesky'ego - masz pierwiastek kwadratowy chi-kwadrat na przekątnej i standardową normę na dolnym trójkącie.

— probabilislogiczny

@probabilityislogic Dzięki za wskazówkę! Zapamiętanie tego wydaje się łatwiejsze i bardziej przydatne.

— facet

Hej, próbuję wywnioskować oczekiwanie na dziennik Wishart (podany w książce Bishopa), który wygląda na skomplikowany, czy znalazłeś jakieś źródło, aby uzyskać wynik?

— awokado