Trochę intuicji graficznej
W modelach AR zachowanie cykliczne pochodzi od złożonych pierwiastków sprzężonych z charakterystycznym wielomianem. Aby dać intuicję, narysowałem poniżej funkcje odpowiedzi impulsowej na dwóch przykładowych modelach AR (2).
- Trwały proces o złożonych korzeniach.
- Trwały proces z prawdziwymi korzeniami.
Dla j=1…,p, Korzenie charakterystycznego wielomianu to 1λj gdzie λ1,…,λp są wartościami własnymi Amacierz, którą zdefiniowałem poniżej. Ze złożonymi wartościami sprzężonymiλ = rmii ω t i λ¯= rmi- i ω t, r kontroluje tłumienie (gdzie r ∈ [ 0 , 1 )) i ω kontroluje częstotliwość fali cosinusowej.
Szczegółowy przykład AR (2)
Załóżmy, że mamy AR (2):
yt=ϕ1yt - 1+ϕ2)yt - 2+ϵt
Możesz napisać dowolny AR (p) jako VAR (1) . W takim przypadku reprezentacja VAR (1) to:
[ytyt - 1]Xt=[ϕ11ϕ2)0]ZA[yt - 1yt - 2]Xt - 1+[ϵt0]Ut
Matryca ZA rządzi dynamiką Xt i stąd yt. Charakterystyczne równanie macierzyZA jest:
λ2)-ϕ1λ -ϕ2)= 0
Wartości własne ZA są:
λ1=ϕ1+ϕ2)1+ 4ϕ2)-------√2)λ2)=ϕ1-ϕ2)1+ 4ϕ2)-------√2)
Wektory własne ZA są:
v1= [λ11]v2)= [λ2)1]
Zauważ, że mi[Xt + k∣Xt,Xt - 1, … ] =ZAkXt. Formowanie rozkładu i wychowania wartości własnejZA do kmoc
ZAk= [λ11λ2)1] [λk100λk2)]⎡⎣1λ1-λ2)- 1λ1-λ2)-λ2)λ1-λ2)λ1λ1-λ2)⎤⎦
Prawdziwa wartość własna λ prowadzi do rozkładu, gdy podnosisz λk. Wartości własne z niezerowymi składnikami urojonymi prowadzą do zachowania cyklicznego.
Wartości własne z urojonym przypadkiem komponentu: ϕ2)1+ 4ϕ2)< 0
W kontekście AR (2) mamy złożone wartości własne if ϕ2)1+ 4ϕ2)< 0. OdZAjest prawdziwe, muszą występować w parach, które są złożonymi sprzężonymi ze sobą.
Po rozdziale 2 Prado i Westa (2010), pozwól
dot=λλ -λ¯yt-λλ¯λ -λ¯yt - 1
Możesz pokazać prognozę mi[yt + k∣yt,yt - 1, … ] jest dany przez:
mi[yt + k∣yt,yt - 1, … ]=dotλk+do¯tλ¯k=zatrksałata( ω k +θt)
Mówiąc swobodnie, dodawanie złożonych koniugatów anuluje ich wyimaginowany składnik, pozostawiając pojedynczą tłumioną falę kosinusową w przestrzeni liczb rzeczywistych. (Uwaga, musimy mieć0 ≤ r < 1 dla stacjonarności).
Jeśli chcesz znaleźć r, ω, zat, θt, zacznij od użycia formuły Eulera, którarmii θ= r cosθ + R sinθ, możemy pisać:
λ = rmii ωλ¯= rmi- i ωr = | λ | =-ϕ2)----√
ω = atan2( imagλ , prawdziweλ ) = atan2(12)-ϕ2)1- 4ϕ2)---------√,12)ϕ1)
zat= 2 |dot|θt= atan2( imagdot, realnydot)
dodatek
Uwaga Mylące ostrzeżenie terminologiczne! Powiązanie charakterystycznego wielomianu A z charakterystycznym wielomianem AR (p)
Inną sztuczką szeregów czasowych jest użycie operatora opóźnienia do napisania AR (p) jako:
( 1 -ϕ1L -ϕ2)L.2)- … -ϕpL.p)yt=ϵt
Wymień operator opóźnienia L. z pewną zmienną z i ludzie często się do nich odnoszą 1 -ϕ1z- … -ϕpzpjako charakterystyczny wielomian modelu AR (p). Jak ta odpowiedź omawia , jest to dokładnie charakterystyczny wielomianZA gdzie z=1λ. Korzeniezsą wzajemnymi wartościami własnymi. (Uwaga: aby model był nieruchomy, chcesz| λ | <1, czyli wewnątrz wiru jednostki lub równoważnie | z| >1, czyli poza okręgiem jednostki).
Bibliografia
Prado, Raquel i Mike West, Szeregi czasowe: modelowanie, obliczenia i wnioskowanie , 2010