Jakie są rozkłady dla simpleks prawdopodobieństwa?

Niech będzie prawdopodobieństwem simpleks wymiaru , tzn. jest taki, że i .$\Delta_{K}$$K-1$$x \in \Delta_{K}$$x_i \ge 0$$\sum_i x_i = 1$

Jakie dystrybucje, które są często (lub dobrze znane lub zdefiniowane w przeszłości) nad ?$\Delta_{K}$

Oczywiście istnieją rozkłady Dirichleta i Logit-Normal. Czy są jakieś inne dystrybucje, które pojawiają się naturalnie w tym kontekście?

Jest to badane w analizie danych kompozycyjnych, jest książka Aitchisona: Analiza statystyczna danych kompozycyjnych .

Zdefiniuj simpleks za pomocą

$$S^n =\{(x_1, \dots,x_{n+1}) \in {\mathbb R}^{n+1} \colon x_1>0,\dots, x_{n+1}>0, \sum_{i=1}^{n+1} x_i=1\}.$$ Zauważ, że używamy indeksu $n$ aby wskazać wymiar! Zdefiniuj średnią geometryczną elementu elementu simpleks,$x$ jako$\tilde{x}$ . Następnie możemy zdefiniować transformację logratio (wprowadzoną przez Aitchisona) jako$x=(x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (\log(x_1/\tilde{x}), \dots, \log(x_n/\tilde{x})$ . jest na${\mathbb R}^n$, więc mam odwrotność, którą pozostawiam wam do obliczenia (Istnieją również inne wersje tej transformacji, które można zastosować, która może ma lepsze właściwości matematyczne, więcej o tym później).

Teraz możesz wziąć rozkład normalny (lub cokolwiek) zdefiniowany na ${\mathbb R}^n$ i użyć tej odwrotnej transformacji, aby zdefiniować rozkład na simpleksie. Możliwości są nieograniczone, dla każdej dystrybucji wielowymiarowej w ${\mathbb R}^n$ otrzymujemy dystrybucję na simpleksie.

Później uzupełnię ten post kilkoma przykładami i szczegółowymi informacjami na temat transformacji współczynnika log.