Dlaczego przejmujemy się tym, że proces MA jest odwracalny?

Mam problem ze zrozumieniem, dlaczego dbamy o to, czy proces magistra jest odwracalny czy nie.

Popraw mnie, jeśli się mylę, ale rozumiem, dlaczego dbamy o to, czy proces AR jest przyczynowy, tj. Czy możemy go „przepisać”, że tak powiem, jako sumę pewnego parametru i białego szumu - tj. proces średniej ruchomej. Jeśli tak, możemy łatwo zauważyć, że proces AR jest przyczynowy.

Mam jednak problem ze zrozumieniem, dlaczego dbamy o to, czy możemy reprezentować proces MA jako proces AR, pokazując, że jest on odwracalny. Naprawdę nie rozumiem, dlaczego nas to obchodzi.

Każdy wgląd byłby świetny.

— agra94
źródło

Odwracalność nie jest tak naprawdę wielkim problemem, ponieważ prawie każdy Gaussowski, nieodwracalny model MA można zmienić na model odwracalnego MA reprezentujący ten sam proces poprzez zmianę wartości parametrów. Jest to wspomniane w większości podręczników do modelu MA (1), ale jest to ogólnie bardziej prawdziwe. $(q)$ $(q)$

Jako przykład rozważmy model MA (2) gdzie jest białym szumem z wariancją . To nie jest model odwracalny, ponieważ ma jeden pierwiastek równy 0,5 wewnątrz okręgu jednostki. jednak nad alternatywnym modelem MA (2) uzyskanym przez zmianę tego pierwiastka na jego wzajemną wartość 2, tak że model ma postać gdzie ma wariancję . Możesz łatwo sprawdzić, czy oba modele (1) i (2) mają te same funkcje autokowariancji, a zatem określić taki sam rozkład danych, jeśli proces jest gaussowski.

\begin{matrix} (1) & z_{t} = (1 - 0.2 B) (1 - 2 B) w_{t}, \end{matrix}

$z_t = (1-0.2B)(1-2B)w_t, \tag{1}$

w_{t}

$w_t$

σ_{w}^{2}

$\sigma_w^2$

θ (B)

$\theta(B)$

\begin{matrix} (2) & z_{t} = (1 - 0.2 B) (1 - 0.5 B) w_{t}^{'} \end{matrix}

$z_t = (1-0.2B)(1-0.5 B)w_t' \tag{2}$

w_{t}^{'}

$w_t'$

σ_{w}^{' 2} = 4 σ_{w}^{2}

$\sigma_w'^2=4\sigma_w^2$

Aby umożliwić identyfikację modelu w taki sposób, że istnieje mapowanie jeden-do-jednego z do dystrybucji danych, przestrzeń parametrów jest zatem umownie ograniczona do tego modeli odwracalnych. Ta szczególna konwencja jest preferowana, ponieważ model można następnie umieścić bezpośrednio w postaci AR ze współczynnikami spełniającymi proste równanie różnicy . $\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_q,\sigma_w^2$ $(\infty)$ $\pi_1,\pi_2,\dots$ $\theta(B)\pi_i=0$

Gdybyśmy nie narzucili tego ograniczenia na przestrzeń parametrów, funkcja prawdopodobieństwa MA generalnie miałaby do lokalnych optymów (jeśli wielomian MA ma wyraźnych rzeczywistych pierwiastków), co jest czymś, co chcemy uniknąć. $(q)$ $2^q$ $q$

Zawsze możesz przenosić pierwiastki z wewnątrz na zewnątrz koła jednostki z odpowiednią zmianą wariancji białego szumu za pomocą powyższej techniki, z wyjątkiem przypadków, w których wielomian MA ma jeden lub więcej pierwiastków dokładnie na okręgu jednostki.

— Jarle Tufto
źródło

Bardzo interesujące!

— Richard Hardy

Tak, nie wiem, dlaczego nie jest to wyraźnie zaznaczone w podręcznikach. Możesz zobaczyć tę „sztuczkę” używaną przez funkcję maInvertwewnątrz funkcji R, arimaaby upewnić się, że oszacowania parametrów odpowiadają modelowi odwracalnemu.

— Jarle Tufto