Błąd w oszacowaniu rozmiaru zestawu?

Załóżmy, że mamy zestaw A i podzbiór B. Jeśli znamy | A |, możemy obliczyć | B | przez znalezienie prawdopodobieństwa p, że element losowo wybrany losowo z A należy do B. Konkretnie | A | p = | B |.

Załóżmy, że generujemy n elementów A równomiernie losowo i używamy tych danych do oszacowania p (liczba elementów w B podzielona przez n), a zatem oszacowania | B |.

Jak wiarygodne jest to oszacowanie? Tj. Jak możemy obliczyć błąd?

Jako pytanie poboczne, czy istnieje nazwa tej techniki? (wydaje się, że jest to matematyczna wersja techniki mark-and-recapture )

Szacujesz proporcje. Konkretnie, wyobraź sobie, że A jest populacją wyborców, a B jest zbiorem wyborców, którzy głosują na konkretnego kandydata. Zatem p będzie procentem wyborców, którzy głosowaliby na tego kandydata. Pozwolić:

$\pi$ być prawdziwym odsetkiem osób, które głosowałyby na kandydata

Innymi słowy:

$\pi = \frac{|B|}{|A|}$

Zatem każda z twoich próbek jest próbą bernoulli z prawdopodobieństwem $\pi$lub równoważnie możesz sobie wyobrazić, że każda z twoich próbek jest ankietą potencjalnych wyborców, pytającą ich, czy zagłosowaliby na kandydata. Zatem MLE z$\pi$ jest dany przez:

$p = \frac{n_B}{n}$

gdzie

$n_B$ to liczba osób, które powiedziały, że zagłosują na kandydata lub liczba elementów, które należą do zestawu B w twojej próbie wielkości $n$.

Standardowy błąd szacunku to:

$\sqrt{\frac{\pi (1-\pi)}{n}}$

Powyższe można oszacować za pomocą MLE dla $\pi$ tj. przez:

$\sqrt{\frac{p (1-p)}{n}}$