Podział wariancji i zmiany wzdłużne w korelacji z danymi binarnymi

Analizuję dane dotyczące 300 000 uczniów w 175 szkołach za pomocą logistycznego liniowego modelu efektów mieszanych (przechwytywanie losowe). Każdy uczeń występuje dokładnie raz, a dane obejmują 6 lat.

1. Jak podzielić wariancję między poziom szkoły i ucznia, w sposób podobny do VPC / ICC, aby uzyskać ciągłe wyniki? Widziałem ten artykuł, w którym zaproponowano 4 metody, z których A i B wydają mi się interesujące, ale chciałbym wiedzieć, jakie zalety / wady mogą wynikać z zastosowania jednej z nich i oczywiście, czy istnieją inne sposoby na zrobienie tego to.

2. Jak mogę porównać różnicę rezydualną na poziomie szkoły z roku na rok (lub w innym okresie)? Do tej pory robiłem to, dzieląc dane według roku i uruchamiając model w stosunku do każdego roku danych, ale myślę, że jest to wadliwe, ponieważ: i) nie ma oczywistego powodu, dla którego powinienem być podzielony według lat ; oraz ii) ponieważ oszacowania efektów stałych są różne dla każdego roku, porównywanie efektów losowych z roku na rok może nie mieć sensu (to tylko moja intuicja, byłoby wspaniale, gdyby ktoś mógł to wyjaśnić bardziej formalnie, jeśli jest to poprawne).

UWAGA: Ponownie napisałem to pytanie po dyskusji w meta z Whuber i Macro

Niech oznaczają wektor odpowiedzi i predyktora (odpowiednio) ucznia i w szkole j .$y_{ij}, {\boldsymbol x}_{ij}$$i$$j$

(1) W przypadku danych binarnych uważam, że standardowym sposobem dekompozycji wariancji analogicznym do tych wykonywanych dla danych ciągłych jest to, co autorzy nazywają Metodą D (skomentuję inne metody poniżej) w twoim linku - wyobrażając sobie dane binarne jako wynikające z podstawowej zmiennej ciągłej zarządzanej przez model liniowy i rozkładającej wariancję na tej skali utajonej. Powodem jest to, że modele logistyczne (i inne GLM) naturalnie powstają w ten sposób -

Aby to zobaczyć, zdefiniuj tak, aby rządził nim liniowy model mieszany:$y^{\star}_{ij}$

$$y^{\star}_{ij} = \alpha + {\boldsymbol x}_{ij} {\boldsymbol \beta} + \eta_j + \varepsilon_{ij}$$

gdzie są współczynnikami regresji, η j ∼ N ( 0 , σ 2 ) to losowy efekt na poziomie szkolnym, a ε i j jest rezydualnym składnikiem wariancji i ma standardowy rozkład logistyczny . Teraz pozwól$\alpha,\beta$$\eta_j \sim N(0,\sigma^2)$$\varepsilon_{ij}$

$$y_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if} \ \ \ y^{\star}_{ij}≥0\\ \\ 0 &\text{if} \ \ \ y^{\star}_{ij}<0 \end{cases}$$

niech teraz, po prostu używając logistycznego CDF, który mamy$p_{ij} = P(y_{ij} = 1|{\boldsymbol x}_{ij},\eta_j)$

$$p_{ij} = 1-P(y^{\star}_{ij}<0|{\boldsymbol x}_{ij},\eta_j) = \frac{ \exp \{-(\alpha + {\boldsymbol x}_{ij} {\boldsymbol \beta} + \eta_j) \} }{1+ \exp \{-(\alpha + {\boldsymbol x}_{ij} {\boldsymbol \beta} + \eta_j) \}}$$

teraz biorąc transformację logitową obu stron, masz

$$\log \left( \frac{ p_{ij} }{1 - p_{ij}} \right) = \alpha + {\boldsymbol x}_{ij} {\boldsymbol \beta} + \eta_j$$

który jest dokładnie logistycznym modelem efektów mieszanych. Zatem model logistyczny jest równoważny z ukrytym modelem zmiennej określonym powyżej. Jedna ważna uwaga:

• Skala nie jest identyfikowana, ponieważ jeśli zmniejszysz ją, ale stałe s , po prostu zmieni powyższe na$\varepsilon_{ij}$$s$

$$\frac{ \exp \{-(\alpha + {\boldsymbol x}_{ij} {\boldsymbol \beta} + \eta_j)/s \} }{1+ \exp \{-(\alpha + {\boldsymbol x}_{ij} {\boldsymbol \beta} + \eta_j)/s \}}$$

$\ \ \ \ \ \ \ $dlatego współczynniki i efekty losowe zostałyby po prostu powiększone o odpowiednią kwotę. Tak więc, a = 1 stosuje się, co oznacza, v r ( ε i j ) = π 2 / 3 .
$\ \ \ \ \ \ $$s=1$${\rm var}(\varepsilon_{ij}) = \pi^2/3$

Teraz, jeśli użyjesz tego modelu, a następnie ilości

$$\frac{ \hat{\sigma}^{2}_{\eta} }{\hat{\sigma}^{2}_{\eta} + \pi^2/3 }$$

szacuje korelację wewnątrzklasową ukrytych zmiennych ukrytych . Kolejna ważna uwaga:

• Jeśli zamiast tego ma standardowy rozkład normalny, masz model probit efektów mieszanych . W takim przypadku Ď 2 $\varepsilon_{ij}$szacujetetrachorycznej korelacjapomiędzy dwoma losowo wybranych uczniów w tej samej szkole, co do których wykazano Pearson (około 1900 chyba) statystycznie zidentyfikowane, gdy bazowe Dane ciągłe się rozkładem normalnym (praca ta w rzeczywistości wykazano, że te korelacji zostały zidentyfikowane poza przypadkiem binarnym do przypadku wielu kategorii, gdzie korelacje te są nazywanekorelacjami polichorycznymi). Z tego powodu może być wskazane (i byłoby to moim zaleceniem) zastosowanie modelu probit, gdy głównym celem jest oszacowanie (tetrachorycznej) wewnątrzklasowej korelacji danych binarnych. $$\frac{ \hat{\sigma}^{2}_{\eta} }{\hat{\sigma}^{2}_{\eta} + 1 }$$

W odniesieniu do innych metod wymienionych w powiązanym dokumencie:

• ${\boldsymbol x}_{ij}$

• (B) Metoda symulacji jest intuicyjnie atrakcyjna dla statystyk, ponieważ dałaby szacowany rozkład wariancji na oryginalnej skali danych, ale w zależności od odbiorców opisanie tego w „metodach” może być (i) skomplikowane. sekcja i (ii) może wyłączyć recenzenta, który szukał czegoś „bardziej standardowego”

• (C) Udawanie, że dane są ciągłe, prawdopodobnie nie jest świetnym pomysłem, chociaż nie zadziała okropnie, jeśli większość prawdopodobieństw nie będzie zbyt bliska 0 lub 1. Ale zrobienie tego prawie na pewno wzbudzi u recenzenta czerwoną flagę więc trzymałbym się z dala.

Teraz w końcu

(2) Jeśli ustalone efekty są bardzo różne na przestrzeni lat, masz rację, sądząc, że może być trudno porównać wariancje efektów losowych na przestrzeni lat, ponieważ są one potencjalnie w różnych skalach (jest to związane z niemożnością identyfikacji wyżej wspomnianego problemu ze skalowaniem).

$I_k = 1$$k$

$$\alpha + {\boldsymbol x}_{ij} {\boldsymbol \beta} + \eta_{1j} I_1 + \eta_{2j} I_2 + \eta_{3j} I_3 + \eta_{4j} I_4 + \eta_{5j} I_5+ \eta_{6j} I_6$$

da to co roku inne ICC, ale te same stałe efekty. Może być kuszące, aby użyć losowego nachylenia w czasie, tworząc liniowy predyktor

$$\alpha + {\boldsymbol x}_{ij} {\boldsymbol \beta} + \eta_{1} + \eta_{2} t$$

ale nie polecam tego, ponieważ pozwoli to na wzrost liczby skojarzeń , a nie zmniejszenie .