Błąd standardowy dla średniej próbki dwumianowych zmiennych losowych

44

Załóżmy, że przeprowadzam eksperyment, który może mieć 2 wyniki i zakładam, że leżący u podstaw „prawdziwy” rozkład 2 wyników jest rozkładem dwumianowym o parametrach i : . $n$ $p$ ${\rm Binomial}(n, p)$

Mogę obliczyć błąd standardowy, , z postaci wariancji : gdzie . Tak więc . Za standardowy błąd dostaję: , ale widziałem gdzieś, że . Co zrobiłem źle? $SE_X = \frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}$ ${\rm Binomial}(n, p)$

σ_{X}^{2} = n p q

$\sigma^{2}_{X} = npq$

q = 1 - p

$q = 1-p$

σ_{X} = \sqrt{n p q}

$\sigma_X=\sqrt{npq}$

S E_{X} = \sqrt{p q}

$SE_X=\sqrt{pq}$

S E_{X} = \sqrt{\frac{p q}{n}}

$SE_X = \sqrt{\frac{pq}{n}}$

binomial standard-error

— Szczery
źródło

Ten artykuł jest bardzo pomocny w zrozumieniu standardowego błędu średniego wpływowegopoints.com

— Training/...

Z mojego google wynika, że ściśle powiązany temat uzyskiwania przedziałów ufności dla rozkładu dwumianowego jest raczej niuansowy i skomplikowany. W szczególności wygląda na to, że przedziały ufności uzyskane z tej formuły, którymi byłyby „Wald Intervals” (patrz en.wikipedia.org/wiki/Binomial_proportion_confidence_interval ), są raczej źle zachowane i należy ich unikać. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz jstor.org/stable/2676784?seq=1#metadata_info_tab_contents .

— aquirdturtle,

58

Wygląda na to, że używasz dwa razy na dwa różne sposoby - zarówno jako wielkość próby, jak i liczbę prób bernoulli, które składają się na losową zmienną dwumianową; aby wyeliminować wszelkie dwuznaczności, użyję aby odnieść się do tego drugiego. $n$ $k$

Jeśli masz niezależnych próbek z rozkładu , wariancja ich średniej próbki wynosi $n$ ${\rm Binomial}(k,p)$

v a r (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} v a r (X_{i}) = \frac{n v a r (X_{i})}{n^{2}} = \frac{v a r (X_{i})}{n} = \frac{k p q}{n}

${\rm var} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} {\rm var}( X_{i} ) = \frac{ n {\rm var}(X_{i}) }{ n^2 } = \frac{ {\rm var}(X_{i})}{n} = \frac{ k pq }{n}$

gdzie i to ta sama średnia. Wynika to później $q=1-p$ $\overline{X}$

(1) , dla dowolnej zmiennej losowej, i dowolnej stałej . ${\rm var}(cX) = c^2 {\rm var}(X)$ $X$ $c$

(2) wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji .

Standardowy błąd to pierwiastek kwadratowy wariancji: . W związku z tym, $\overline{X}$ $\sqrt{\frac{ k pq }{n}}$

Gdy , otrzymujesz wskazaną formułę: $k = n$ $\sqrt{pq}$
Kiedy , a zmienne dwumianowe są tylko próbami bernoulli , otrzymujesz wzór, który widziałeś gdzie indziej: $k = 1$ $\sqrt{\frac{pq }{n}}$

— Makro
źródło

3

Gdy jest losową zmienną bernoulli , wtedy . Gdy ma dwumianową zmienną losową opartą na próbach z prawdopodobieństwem powodzenia , wtedy

X

$X$

v a r (X) = p q

${\rm var}(X) = pq$

X

$X$

n

$n$

p

$p$

v a r (X) = n p q

${\rm var}(X) = npq$

— Macro

2

Dzięki! Pozbyłeś się zamieszania. Przepraszam, że to było tak elementarne, wciąż się uczę :-)

— Frank

6

Czy dla Franka jest jasne, że wykorzystujemy fakt, że dla dowolnej stałej c Var (cX) = c Var (x)? Ponieważ próbna ocena proporcji wynosi X / n, mamy Var (X / n) = Var (X) / n = npq / n = pq / n, a SEx jest pierwiastkiem kwadratowym z tego. Myślę, że dla wszystkich będzie to zrozumiałsze, jeśli przeliterujemy wszystkie kroki.

^{2}

$^2$

^{2}

$^2$

^{2}

$^2$

— Michael Chernick

1

@MichaelChernick, wyjaśniłem szczegóły, o których wspomniałeś. Na podstawie opisu problemu doszedłem do wniosku, że Frank znał te fakty, ale masz rację, że dla przyszłych czytelników bardziej szczegółowe byłoby podanie szczegółów.

— Makro

2

Sol Lago - W tym przypadku k = 1. Jeśli rzuciłeś monetą 50 razy i obliczyłeś liczbę sukcesów, a następnie powtórzyłeś eksperyment 50 razy, to k = n = 50. Rzut monetą daje 1 lub 0. Jest to rv Bernoulliego

— B_Miner

9

Łatwo jest pomylić dwie rozkłady dwumianowe:

rozkład liczby sukcesów
rozkład odsetka sukcesów

npq to liczba sukcesów, podczas gdy npq / n = pq to stosunek sukcesów. Powoduje to różne standardowe formuły błędów.

— Vlad
źródło

6

Możemy na to spojrzeć w następujący sposób:

Załóżmy, że przeprowadzamy eksperyment, w którym musimy rzucić obiektywną monetę razy. Ogólnym wynikiem eksperymentu jest które jest sumą poszczególnych rzutów (powiedzmy, głowa jako 1, a ogon jako 0). Tak więc dla tego eksperymentu , gdzie są wynikami poszczególnych rzutów. $n$ $Y$ $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X_i$

Tutaj wynik każdego rzutu zgodny z rozkładem Bernoulliego, a ogólny wynik jest rozkładem dwumianowym. $X_i$ $Y$

Cały eksperyment można traktować jako pojedynczą próbkę. Zatem, jeśli powtórzymy eksperyment, możemy uzyskać kolejną wartość , która utworzy kolejną próbkę. Wszystkie możliwe wartości będą stanowić całkowitą populację. $Y$ $Y$

Wracając do pojedynczego rzutu monetą, który następuje po rozkładzie Bernoulliego, wariancję podaje , gdzie jest prawdopodobieństwem główki (sukcesu), a . $pq$ $p$ $q = 1 – p$

Teraz, jeśli spojrzymy na wariancję , . Ale dla wszystkich indywidualnych eksperymentów Bernoulliego . Ponieważ istnieje rzutów lub badań Bernoulliego w doświadczeniu . Oznacza to, że ma wariancję . $Y$ $V(Y) = V(\sum X_i) = \sum V(X_i)$ $V(X_i) = pq$ $n$ $V(Y) = \sum V(X_i) = npq$ $Y$ $npq$

Teraz proporcja próbki jest podawana przez , co daje „proporcję sukcesu lub głów”. Tutaj jest stałą, ponieważ planujemy wziąć taką samą liczbę rzutów monetą dla wszystkich eksperymentów w populacji. $\hat p = \frac Y n$ $n$

Zatem . $V(\frac Y n) = (\frac {1}{n^2})V(Y) = (\frac {1}{n^2})(npq) = pq/n$

Zatem standardowy błąd dla (przykładowa statystyka) to $\hat p$ $\sqrt{pq/n}$

— Tarashankar
źródło

Możesz używać składu lateksu, umieszczając dolary wokół swojej matematyki, np. $x$ Daje .

x

$x$

— Silverfish,

Zauważ, że krok naprawdę zasługuje na uzasadnienie!

V (\sum X_{i}) = \sum V (X_{i})

$V(\sum X_i)=\sum V(X_i)$

— Silverfish

W ostatniej dedukcji jest literówka, V (Y / n) = (1 / n ^ 2) * V (Y) = (1 / n ^ 2) * npq = pq / n powinno być poprawną dedukcją.

— Tarashankar

Przepraszam, przedstawiłem to podczas pisania. Mam nadzieję, że teraz posortowane.

— Silverfish,

1

To prawda, jeśli są nieskorelowane - w celu uzasadnienia tego wykorzystujemy fakt, że próby są założone jako niezależne.

X_{i}

$X_i$

— Silverfish,

2

Myślę, że istnieje również pewne zamieszanie w początkowym poście między błędem standardowym a odchyleniem standardowym. Odchylenie standardowe to sqrt wariancji rozkładu; błąd standardowy jest standardowym odchyleniem szacunkowej średniej próbki od tego rozkładu, tj. rozkładem średnich, które zaobserwowałbyś, gdybyś zrobił tę próbkę nieskończenie wiele razy. Ten pierwszy jest nieodłączną własnością dystrybucji; to drugie jest miarą jakości twojego oszacowania własności (średniej) rozkładu. Kiedy przeprowadzasz eksperyment z próbami N Bernouilli w celu oszacowania nieznanego prawdopodobieństwa sukcesu, niepewność twojego szacunkowego p = k / N po zobaczeniu k sukcesów jest standardowym błędem szacowanej proporcji, sqrt (pq / N) gdzie q = 1 -p. Prawdziwy rozkład charakteryzuje parametr P, prawdziwe prawdopodobieństwo sukcesu.

— Stan
źródło