Dlaczego naiwny klasyfikator Bayesa jest optymalny dla straty 0-1?

Klasyfikator Naive Bayes jest klasyfikatorem, który przypisuje przedmioty do klasy oparciu o maksymalizację tylnego dla członkostwa w klasie i zakłada, że cechy przedmiotów są niezależne. $x$ $C$ $P(C|x)$

Strata 0-1 to strata, która przypisuje każdej błędnej klasyfikacji stratę „1”, a stratę „0” dowolnej poprawnej klasyfikacji.

Często czytam (1), że klasyfikator „Naive Bayes” jest optymalny dla straty 0-1. Dlaczego to prawda?

(1) Jedno przykładowe źródło: klasyfikator Bayesa i błąd Bayesa

Czy możesz podać odniesienie do swojego stwierdzenia: „ Często czytam, że klasyfikator„ Naive Bayes ”jest optymalny dla straty 0-1 ”? Na przykład, gdzie mógłbyś przeczytać tego rodzaju stwierdzenie w przeszłości

— Jon

edytowane, dodano przykładowe źródło

W rzeczywistości jest to dość proste: klasyfikator Bayesa wybiera klasę, która ma największe prawdopodobieństwo wystąpienia a posteriori (tzw. Oszacowanie maksimum a posteriori ). Funkcja utraty 0-1 penalizuje błędne klasyfikowanie, tzn. Przypisuje najmniejszą stratę rozwiązaniu, które ma największą liczbę poprawnych klasyfikacji. W obu przypadkach mówimy o trybie szacowania . Przypomnij sobie, że tryb jest najczęstszą wartością w zbiorze danych lub najbardziej prawdopodobną wartością , więc zarówno maksymalizacja prawdopodobieństwa a posteriori, jak i minimalizacja straty 0-1 prowadzi do oszacowania trybu.

Jeśli potrzebujesz formalnego dowodu, ten jest podany we wstępie do dokumentu Bayesian Theoryory autorstwa Angeli J. Yu:

Funkcja utraty binarnej 0-1 ma następującą postać:

$l_{x} (\hat{s}, s^{*}) = 1 - δ_{\hat{s} s^{*}} = {\begin{cases} 1 & if \hat{s} \neq s^{*} \\ 0 & otherwise \end{cases}$ $l_\boldsymbol{x}(\hat s, s^*) = 1 - \delta_{\hat ss^*} = \begin{cases} 1 & \text{if} \quad \hat s \ne s^* \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
gdzie to funkcja Delta Kroneckera. (...) oczekiwana strata wynosi: $\delta$

$\begin{aligned} L_{x} (\hat{s}) & = \sum_{s^{*}} l_{x} (\hat{s}, s^{*}) P (s = s^{*} ∣ x) \\ = \sum_{s^{*}} (1 - δ_{\hat{s} s^{*}}) P (s = s^{*} ∣ x) \\ = \sum_{s^{*}} P (s = s^{*} ∣ x) d s^{*} - \sum_{s^{*}} δ_{\hat{s} s^{*}} P (s = s^{*} ∣ x) \\ = 1 - P (s = s^{*} ∣ x) \end{aligned}$ $\begin{align} \mathcal{L}_\boldsymbol{x}(\hat s) &= \sum_{s^*} l_\boldsymbol{x}(\hat s, s^*) \; P(s = s^* \mid \boldsymbol{x}) \\ &= \sum_{s^*} (1 - \delta_{\hat ss^*}) \; P(s = s^* \mid \boldsymbol{x}) \\ &= \sum_{s^*} P(s = s^* \mid \boldsymbol{x}) ds^* - \sum_{s^*} \delta_{\hat ss^*} P(s = s^* \mid \boldsymbol{x}) \\ &= 1 - P(s = s^* \mid \boldsymbol{x}) \end{align}$

Dotyczy to ogólnie oceny maksymalnej a posteriori. Więc jeśli znasz rozkład tylny, a następnie zakładając stratę 0-1, najbardziej optymalną regułą klasyfikacji jest przyjęcie trybu rozkładu tylnego, nazywamy to optymalnym klasyfikatorem Bayesa . W prawdziwym życiu zwykle nie znamy rozkładu tylnego, ale raczej go oceniamy. Naiwny klasyfikator Bayesa przybliża optymalny klasyfikator, patrząc na rozkład empiryczny i zakładając niezależność predyktorów. Tak naiwny klasyfikator Bayesa nie jest sam w sobie optymalny, ale przybliża optymalne rozwiązanie. W swoim pytaniu wydajesz się mylić te dwie rzeczy.

— Tim
źródło

Myślę, że rozumiem: więc formalny dowód byłby czymś w rodzaju straty (akcja_1) = 1-P (akcja_2 | dane) <--- chcemy to zminimalizować. Zminimalizowanie tego jest znów równoznaczne z maksymalizacją pierwszeństwa poprawnej klasy (tj. Maksymalizacją P (action_2 | data)). Co mnie jednak myli, to dlaczego nie każdy klasyfikator byłby optymalny pod tym względem - ponieważ wydaje się to najbardziej podstawowym wymogiem do przypisania próbki danych do klasy. Czy więc jeśli zawsze wybieramy przypisywanie próbki danych do klasy z wyższą pozycją tylną, to czy nie jesteśmy automatycznie w

@TestGuest sprawdź moją edycję pod kątem formalnego potwierdzenia.

— Tim

To najbardziej skomplikowany formalizm, jaki widziałem dla takiego dowodu :)) dziękuję jednak, mam nadzieję, że pomaga również innym.