Czy rozkład Poissona jest stabilny i czy istnieją formuły inwersji dla MGF?

Po pierwsze, mam pytanie, czy rozkład Poissona jest „stabilny”, czy nie. Bardzo naiwnie (i nie jestem zbyt pewny co do „stabilnych” rozkładów), opracowałem rozkład liniowej kombinacji rozproszonych RV Poissona, używając iloczynu MGF. Wygląda na to, że dostaję kolejnego Poissona z parametrem równym liniowej kombinacji parametrów poszczególnych RV. Stwierdzam więc, że Poisson jest „stabilny”. czego mi brakuje?

Po drugie, czy istnieją formuły inwersji dla MGF, podobnie jak dla funkcji charakterystycznej?

distributions poisson-distribution mgf

— Szczery
źródło

Jest zamknięty w (niezależnych) sumach , ale nie w dowolnych kombinacjach liniowych. Jeśli dołączysz swoją pracę, podejrzewam, że w końcu zobaczysz dlaczego; a jeśli nie, ktoś będzie w stanie to wskazać. Tak, istnieje kilka analogów odwrotnych do funkcji charakterystycznych. Co wiesz o transformacji Laplace'a i integracji konturu Bromwich?

— kardynał

OK, wrócę do deski kreślarskiej. Mam MGF i-tego Poissona jako: exp (lambda_i (exp (t) - 1)). Zatem iloczyn n Poissona MGF daje mi: exp (suma (i, 0, n) alpha_i * lambda_i * (exp (t) - 1)) i biorę nową lambda = suma (i, 0, n) alpha_i * lambda_i. Teraz obawiam się, że będę wyglądać głupio, popełniając oczywisty błąd. - Wiem o transformacji Laplace'a i integracji konturów w ogóle, ale nie o integracji konturów Bromwisha. - Czy zalecałby Pan pracę z CF zamiast ogólnie z MGF? Wydaje się silniejszy.

— Frank

Co to jest w twoim komentarzu? Otocz też swoją matematykę-LaTeX znakami dolara, aby działała (używając \ exp, aby „exp” wyszedł poprawnie, a \ lambda, aby , \ suma dla itp.)

α_{i}

$\alpha_i$

λ

$\lambda$

\sum

$\sum$

— jbowman

Tak, nie jestem zbyt dobry w LaTex, ale proszę bardzo. Tak więc moja liniowa kombinacja RV to: , a iloczyn ich MGF to: , jeśli mam rację, jeśli RV są dystrybuowane jako . Użyłem tego samego t dla wszystkich RV, ale muszę użyć .

\sum_{ja = 0}^{n} α_{ja} X_{ja}

$\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} X_{i}$

\exp (\sum_{ja = 0}^{n} α_{ja} λ_{ja} (\exp (t_{ja}) - 1))

$\exp(\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} \lambda_{i} (\exp(t_{i}) - 1))$

P o i s s o n (λ_{i})

$Poisson(\lambda_{i})$

t_{i}

$t_{i}$

— Frank

Błąd polega na tym, że MGF dla to a nie

a_{i} X_{i}

$a_iX_i$

e x p (λ_{i} (e x p (a_{i} t) - 1))

$exp(\lambda_i (exp(a_i t)-1))$

e x p (a_{i} λ_{i} (e x p (t) - 1))

$exp(a_i\lambda_i (exp(t)-1))$

— gui11aume

Odpowiedzi:

Liniowe kombinacje zmiennych losowych Poissona

Jak obliczyłeś, funkcja generująca moment rozkładu Poissona ze współczynnikiem wynosi $\lambda$

m_{X} (t) = mi {mi}^{t X} = {mi}^{λ ({mi}^{t} - 1)} .

$m_X(t) = \mathbb E e^{t X} = e^{\lambda (e^t - 1)} \>.$

$X$ $Y$ $Z = a X + b Y$

m_{Z} (t) = E e^{t Z} = E e^{t (a X + b Y)} = mi {mi}^{t (za X)} mi {mi}^{t (b Y)} = m_{X} (za t) m_{Y} (b t) .

$m_Z(t) = \mathbb Ee^{tZ} = \mathbb E e^{t (a X + b Y)} = \mathbb E e^{t(aX)} \mathbb E e^{t (bY)} = m_X(at) m_Y(bt) \>.$

$X$ $\lambda_x$ $Y$ $\lambda_y$

m_{Z} (t) = \exp (λ_{x} ({mi}^{za t} - 1)) \exp (λ_{y} ({mi}^{b t} - 1)) = \exp (λ_{x} {mi}^{za t} + λ_{y} {mi}^{b t} - (λ_{x} + λ_{y})),

$m_Z(t) = \exp({\lambda_x (e^{at} - 1)}) \exp({\lambda_y (e^{bt} - 1)}) = \exp(\lambda_x e^{at} + \lambda_y e^{bt} - (\lambda_x + \lambda_y))\>,$

\exp (λ (e^{t} - 1))

$\exp(\lambda(e^t - 1))$

λ

$\lambda$

a = b = 1

$a = b = 1$

Odwrócenie funkcji generujących moment

$\mathcal L(s) = \mathbb E e^{-s T}$ $T$ $\mathcal L(s) = m_T(-s)$ $s$ $s \geq 0$

Inwersji można następnie dokonać za pomocą całki Bromwich lub wzoru inwersji Post . Probabilistyczną interpretację tego ostatniego można znaleźć w ćwiczeniu w kilku klasycznych tekstach prawdopodobieństwa.

Chociaż nie jest to bezpośrednio związane, możesz również zainteresować się poniższą uwagą.

JH Curtiss (1942), Notatka na temat teorii funkcji generujących moment , Ann. Matematyka Stat. , vol. 13, nr 4, s. 430–433.

Powiązaną teorię opracowuje się częściej dla funkcji charakterystycznych, ponieważ są one w pełni ogólne: istnieją dla wszystkich rozkładów bez ograniczeń podparcia lub momentu.

— kardynał
źródło

(+1) Czy formuła inwersji ma charakter czysto teoretyczny, czy faktycznie jest czasami używana?

— gui11aume

@ gui11aume: Jest używany w miejscach; ale przykłady, które zwykle można znaleźć w tekście, są zwykle dokładnie tymi, dla których nie są potrzebne. :)

— kardynał

Więc przypuszczalnie łatwiej jest pracować z CF niż MGF? MGF nie zawsze istnieją, prawda? Po co zawracać sobie nimi głowę?

— Frank

@Frank: Z pedagogicznego punktu widzenia łatwiej jest je przedstawić uczniom, którzy znają rachunek różniczkowy, ale mają niewielkie lub żadne tło w złożonych zmiennych. Gdy istnieją, mają całkowicie analogiczne właściwości do CF. Odgrywają one ważną rolę w niektórych częściach teorii prawdopodobieństwa i statystyki teoretycznej, np. Duże odchylenia i wykładnicze nachylenie.

— kardynał

α

$\alpha$

$X$ $X/2$

Nie znam formuł inwersji dla MGF (ale wydaje się, że @cardinal).

— gui11aume
źródło

(+1) Ponieważ lubię proste dowody ilustracyjne i kontrprzykłady, które natychmiast ukazują sedno sprawy.

— kardynał

Mam pytanie dotyczące terminologii. W statystyce, którą badałem, stabilne dsitrybucje były granicami rozkładów, które spełniały warunek konwergencji zwany prawem stabilnym. Są to ciągłe nienormalne rozkłady. Są rozkładem dla granic znormalizowanej średniej Z, ale centralne twierdzenie o granicy nie ma zastosowania do Z z powodu zachowania ogona rozkładu populacji. W rzeczywistości centralne twierdzenie graniczne może należeć do praw stabilnych, jeśli określony parametr alfa = 2.

— Michael R. Chernick

To, co nazywacie tutaj stabilnym, jest bliższe sumom, co wydaje mi się bardziej terminem nieskończenie podzielnym. W jakich polach używa się do tego terminu stabilny? Czy wykorzystuje się go w prawdopodobieństwie i statystyce?

— Michael R. Chernick

a X_{1} + b X_{2}

$aX_1 + bX_2$

c X + d

$cX + d$