Jaka jest definicja rozkładu symetrycznego?

Jaka jest definicja rozkładu symetrycznego? Ktoś powiedział mi, że losowa zmienna pochodzi z rozkładu symetrycznego wtedy i tylko wtedy, gdy i mają ten sam rozkład. Ale myślę, że ta definicja jest częściowo prawdziwa. Ponieważ mogę przedstawić kontrprzykład i . Oczywiście ma rozkład symetryczny, ale i mają inny rozkład! Czy mam rację? Czy myślicie kiedyś o tym pytaniu? Jaka jest dokładna definicja rozkładu symetrycznego? $X$ $X$ $-X$ $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ $\mu\neq0$ $X$ $-X$

distributions definition symmetry

— shijing SI
źródło

Kiedy mówisz, „rozkład jest symetryczny”, musisz określić, w odniesieniu do którego punktu jest symetryczny. W przypadku przedstawionego rozkładu normalnego symetria jest podana wokół . W tym przypadku i mają ten sam rozkład. Pod względem gęstości można to wyrazić jako: jest symetryczny o jeśli . BTW, dobrze jest przyjmować odpowiedzi, gdy jesteś zadowolony z jednego z nich.

μ

$\mu$

X - μ

$X-\mu$

- (X - μ)

$-(X-\mu)$

f

$f$

μ

$\mu$

f (μ - x) = f (μ + x)

$f(\mu-x)=f(\mu+x)$

Tak, pomyśleliśmy o tym pytaniu. Symetryczny ogólnie oznacza symetryczny około i, aby zapobiec dalszym kontrpróbkom, twierdzenie o rozkładach symetrycznych nie jest prawdą w przypadku skumulowanej funkcji rozkładu prawdopodobieństwa . Twój „kontrprzykład” ma symetrię względem punktu , a nie punktu .

0

$0$

μ \neq 0

$\mu \neq 0$

0

$0$

— Dilip Sarwate

@Dilip Gdy definicja zależy od jednego sposobu opisania czegoś, ale ta definicja może być nieodłączną właściwością tego czegoś, wówczas nie ma sensu stosować definicji do innej formy opisu. W tym przypadku symetria jest właściwością dystrybucji , ale nie oznacza to, że wszystkie opisy tej dystrybucji (w tym PDF i CDF) muszą być „symetryczne” w ten sam sposób. Stosując symetrię pliku PDF do CDF, twój komentarz myli pytanie, a nie wyjaśnia.

— whuber

shijing, @Procrastinator zauważył, że zadałeś wiele pytań bez akceptowania odpowiedzi. Sugeruje to, że możesz nie być zaznajomiony ze sposobem działania tej witryny. Aby wyjaśnić wszelkie nieporozumienia, proszę przeczytać całą część naszego FAQ przez cały czas ? Zajmie to tylko kilka minut, a przestrzeganie jej wskazówek zwiększy wartość naszej witryny dla Ciebie.

— whuber

@whuber CDF jest jednym z niewielu opisów, w których rozkład słów faktycznie występuje w nazwie, a ja próbowałem wyjaśnić, że właściwość symetrii nie zachowała się dla CDF.

— Dilip Sarwate

Odpowiedzi:

W skrócie: jest symetryczny, gdy i mają taki sam rozkład dla pewnej liczby rzeczywistej . $X$ $X$ $2a-X$ $a$ Ale osiągnięcie tego w pełni uzasadniony sposób wymaga pewnej dygresji i uogólnień, ponieważ rodzi wiele ukrytych pytań: dlaczego ta definicja „symetrycznej”? Czy mogą istnieć inne rodzaje symetrii? Jaki jest związek między rozkładem i jego symetriami, i odwrotnie, jaki jest związek między „symetrią” a tymi rozkładami, które mogą mieć tę symetrię?

Omawiane symetrie są odzwierciedleniem rzeczywistej linii. Wszystkie są w formie

x \to 2 a - x

$x \to 2a-x$

dla niektórych stałych . $a$

Załóżmy, że ma tę symetrię dla co najmniej jednego . Zatem symetria implikuje $X$ $a$

Pr [X \geq a] = Pr [2 a - X \geq a] = Pr [X \leq a]

$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$

pokazując, że jest mediana z . Podobnie, jeśli ma oczekiwanie, to natychmiast wynika, że . Tak więc zazwyczaj można zmusić łatwo. Nawet jeśli nie, (a zatem sama symetria) jest nadal jednoznacznie określona (jeśli w ogóle istnieje). $a$ $X$ $X$ $a = E[X]$ $a$ $a$

Aby to zobaczyć, niech będzie dowolnym środkiem symetrii. Następnie stosując obie symetrie, widzimy, że jest niezmienny pod tłumaczeniem . Jeśli , rozkład musi mieć okres , co jest niemożliwe, ponieważ całkowite prawdopodobieństwo rozkładu okresowego wynosi lub nieskończoność. Zatem , pokazując, że jest unikalny. $b$ $X$ $x \to x + 2(b-a)$ $b-a \ne 0$ $X$ $b-a$ $0$ $b-a=0$ $a$

Mówiąc bardziej ogólnie, gdy jest grupą działającą wiernie na linii rzeczywistej (a przez to na wszystkich jej podzbiorach Borela), możemy powiedzieć, że rozkład jest „symetryczny” (w odniesieniu do ), gdy $G$ $X$ $G$

Pr [X \in E] = Pr [X \in E^{g}]

$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$

dla wszystkich mierzalnych zbiorów i elementów , gdzie oznacza obraz pod działaniem . $E$ $g \in G$ $E^g$ $E$ $g$

Na przykład, niech nadal będzie grupą rzędu , ale teraz niech jej działanie będzie polegać na przyjmowaniu odwrotności liczby rzeczywistej (i niech naprawi ). Standardowy rozkład logarytmiczno- normalny jest symetryczny w odniesieniu do tej grupy. Ten przykład może być rozumiany jako przykład symetrii odbicia, w której miała miejsce nieliniowa reekspresja współrzędnych. Sugeruje to skupienie się na transformacjach, które szanują „strukturę” linii rzeczywistej. Struktura istotna dla prawdopodobieństwa musi być związana ze zbiorami Borela i miarą Lebesgue'a, które można zdefiniować w kategoriach (euklidesowej) odległości między dwoma punktami. $G$ $2$ $0$

Mapa zachowująca odległość jest z definicji izometrią. Jest dobrze znane (i łatwe, choć nieco zaangażowane, aby wykazać), że wszystkie izometria linii rzeczywistej są generowane przez odbicia. Skąd, gdy zrozumiemy, że „symetryczny” oznacza symetryczny w odniesieniu do pewnej grupy izometrii , grupa musi zostać wygenerowana przez co najwyżej jedno odbicie, a widzieliśmy, że odbicie jest jednoznacznie określone przez dowolny rozkład symetryczny w stosunku do niego. W tym sensie powyższa analiza jest wyczerpująca i uzasadnia zwykłą terminologię „symetrycznych” rozkładów.

Nawiasem mówiąc, istnieje wiele wielowymiarowych przykładów rozkładów niezmiennych w grupach izometrii, biorąc pod uwagę rozkłady „sferyczne”. Są niezmienne we wszystkich obrotach (względem niektórych stałych środków). Uogólniają one jednowymiarowy przypadek: „obroty” linii rzeczywistej są tylko odbiciami.

Na koniec warto zauważyć, że standardowa konstrukcja - uśredniająca dla grupy - daje sposób na wytworzenie obciążeń rozkładów symetrycznych. W przypadku linii rzeczywistej, niech będzie generowane przez odbicie wokół punktu , tak aby zawierało element tożsamości i to odbicie, . Niech będzie dowolną dystrybucją. Zdefiniuj rozkład , ustawiając $G$ $a$ $e$ $g$ $X$ $Y$

{Pr}_{Y} [E] = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} {Pr}_{X} [E^{g}] = ({Pr}_{X} [E] + {Pr}_{X} [E^{g}]) / 2

${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$

dla wszystkich borelowskie . Jest to oczywiście symetryczne i łatwo sprawdzić, czy pozostaje rozkładem (wszystkie prawdopodobieństwa pozostają nieujemne, a całkowite prawdopodobieństwo wynosi ). $E$ $1$

Gamma

Ilustrujący proces uśredniania grupowego, PDF symetrycznego rozkładu gamma (wyśrodkowany na $a=2$ ) jest pokazany w kolorze złotym. Oryginalna gamma jest niebieska, a jej odbicie jest czerwone.

— Whuber
źródło

(+1) Chciałbym dodać, że w ustawieniu wielowymiarowym definicja symetrii nie jest unikalna. W tej książce istnieje 8 możliwych definicji symetrycznych rozkładów wielowymiarowych.

@ Procrastinator Jestem ciekawy, co możesz rozumieć przez „nie wyjątkowy”. AFAIK, wszystko, co uzasadnia nazwę „symetria”, ostatecznie odnosi się do akcji grupowej na przestrzeni. Ciekawe byłoby zobaczyć, jakie rodzaje działań statystycy uznali za przydatne. Ponieważ ta książka jest wyczerpana i niedostępna w Internecie, czy możesz podać szybki przykład dwóch naprawdę różnych rodzajów symetrii rozważanych w tej książce?

— whuber

X - μ \overset{d}{=} - (X - μ)

${\bf X}-\mu\stackrel{d}{=}-({\bf X}-\mu)$

X - μ \overset{d}{=} O (X - μ)

$X-\mu\stackrel{d}{=}{\bf O}({\bf X}-\mu)$

O

${\bf O}$

@Procrastinator Thanks. Zauważ, że dwa przykłady, które oferujesz, są szczególnymi przypadkami podanej przeze mnie ogólnej definicji: centralna symetria generuje dwuelementową grupę izometrii, a symetrie sferyczne są również podgrupą wszystkich izometrii. „Eliptyczna symetria” w łączniku jest sferyczną symetrią po transformacji afinicznej, a zatem stanowi przykład zjawiska, na które wskazałem lognormalny przykład. „Symetrie kątowe” ponownie tworzą grupę izometrii. „Symetria półprzestrzeni” [sic] nie jest symetrią, ale pozwala na dyskretne odejście od niej: to nowe.

— whuber

Odpowiedź będzie zależeć od tego, co rozumiesz przez symetrię. W fizyce pojęcie symetrii jest fundamentalne i stało się bardzo ogólne. Symetria to każda operacja, która pozostawia system bez zmian. W przypadku rozkładu prawdopodobieństwa można to przełożyć na dowolną operację która zwraca to samo prawdopodobieństwo . $X \to X'$ $P(X) = P(X')$

W prostym przypadku pierwszego przykładu odwołujesz się do symetrii odbicia względem maksimum. Gdyby rozkład był sinusoidalny, wówczas można mieć warunek , gdzie jest długością fali lub okresem. Wtedy i nadal pasowałoby do bardziej ogólnej definicji symetrii. $X \to X + \lambda$ $\lambda$ $P(X) = P(X + \lambda)$

— Michael Hoffman
źródło