Odpowiedzi:
Zarówno MOM, jak i GMM są bardzo ogólnymi metodami szacowania parametrów modeli statystycznych. GMM jest - jak sama nazwa wskazuje - uogólnieniem MOM. Został on opracowany przez Larsa Petera Hansena i opublikowany po raz pierwszy w Econometrica [1]. Ponieważ istnieje wiele podręczników na ten temat (np. [2]), zakładam, że chcesz tutaj odpowiedzi nietechnicznej.
Tradycyjna lub klasyczna metoda estymatora momentów
Estymator MOM jest spójnym, ale nieefektywnym estymatorem. Załóżmy wektor danych y, które zostały wygenerowane przez rozkład prawdopodobieństwa zindeksowany przez wektor parametrów theta z k elementami. W metodzie momentów theta jest szacowana poprzez obliczenie k przykładowych momentów y, ustawiając je na równe momenty populacji wyprowadzone z założonego rozkładu prawdopodobieństwa i rozwiązując dla theta. Na przykład moment populacji mu jest oczekiwaniem y, podczas gdy moment próby mu jest średnią próbki y. Powtórzyłbyś to dla każdego z elementów k theta. Ponieważ przykładowe momenty są ogólnie spójnymi estymatorami momentów populacji, theta-hat będzie spójny dla theta.
Uogólniona metoda momentów
W powyższym przykładzie mieliśmy taką samą liczbę warunków momentu jak nieznane parametry, więc wszystko, co zrobilibyśmy, to rozwiązać k równań w k niewiadomych, aby uzyskać oszacowania parametrów. Hansen zapytał: co się dzieje, gdy mamy więcej warunków momentu niż parametrów, co zwykle występuje w modelach ekonometrycznych? Jak optymalnie je połączyć? Taki jest cel estymatora GMM. W GMM estymujemy wektor parametru, minimalizując sumę kwadratów różnic między momentami populacji i momentami próbnymi, wykorzystując wariancję momentów jako metrykę. Jest to estymator minimalnej wariancji w klasie estymatorów, które wykorzystują warunki chwilowe.
[1] Hansen, LP (1982): Duża próbka właściwości ogólnej metody estymatorów momentów, Econometrica , 50, 1029-1054
[2] Hall, AR (2005). Uogólniona metoda momentów (zaawansowane teksty w ekonometrii). Oxford University Press