W jaki sposób ACF i PACF identyfikują kolejność warunków MA i AR?

Od ponad 2 lat pracuję nad różnymi seriami czasowymi. Czytałem w wielu artykułach, że ACF służy do identyfikacji kolejności terminu MA, a PACF dla AR. Istnieje ogólna zasada, że ​​dla MA opóźnienie, w którym ACF nagle się wyłącza, jest rzędu MA i podobnie dla PACF i AR.

Oto jeden z artykułów, które śledziłem z PennState Eberly College of Science.

Moje pytanie brzmi: dlaczego tak jest? Dla mnie nawet ACF może podać termin AR. Potrzebuję wyjaśnienia powyższej reguły kciuka. Nie jestem w stanie zrozumieć intuicyjnej / matematycznej reguły kciuka, dlatego -

Identyfikację modelu AR najlepiej często przeprowadzić za pomocą PACF.
Identyfikacja modelu MA jest często najlepiej przeprowadzana za pomocą ACF, a nie PACF

Uwaga: - Nie potrzebuję, ale „DLACZEGO”. :)

Cytaty pochodzą z linku w PO:

Identyfikację modelu AR najlepiej często przeprowadzić za pomocą PACF.

W przypadku modelu AR teoretyczny PACF „wyłącza się” poza kolejnością modelu. Wyrażenie „odcina się” oznacza, że ​​teoretycznie częściowa autokorelacja jest równa 0 powyżej tego punktu. Innymi słowy, liczba niezerowych częściowych autokorelacji określa kolejność modelu AR. Przez „kolejność modelu” rozumiemy najbardziej ekstremalne opóźnienie x, które jest używane jako predyktor.

... O rzędu autoregresji napisanej jak Ar (k) jest wielokrotnej regresji liniowej, w której wartość serii w dowolnym czasie t jest (liniowy) funkcją wartości niekiedy T - 1 , T - 2 , … , T - k $k^{\text{th}}$$t-1,t-2,\ldots,t-k:$

$$\begin{equation*} y_{t}=\beta_{0}+\beta_{1}y_{t-1}+\beta_{2}y_{t-2}+\cdots+\beta_{2}y_{t-k}+\epsilon_{t}. \end{equation*}$$

To równanie wygląda jak model regresji, jak wskazano na połączonej stronie ... Więc jaka jest możliwa intuicja tego, co robimy ...

W chińskich szeptach lub w grze telefonicznej, jak pokazano tutaj

wiadomość ulega zniekształceniu, gdy jest szeptana od osoby do osoby, a wszelkie ślady podobieństwa (wszelkie prawdziwe słowa, jeśli wolisz) są tracone po czerwonym uczestniku (z wyjątkiem artykułu „a”). PACF powiedziałby nam, że współczynniki dla niebieskiego i żółtego uczestnika nie mają znaczenia, po uwzględnieniu efektu brązowego i czerwonego uczestnika (zielony uczestnik na końcu linii nie zniekształca komunikatu).

Nie jest trudno zbliżyć się do rzeczywistego wyniku funkcji R przez faktyczne uzyskanie kolejnych regresji OLS poprzez pochodzenie dalszych opóźnionych sekwencji i zebranie współczynników w wektorze. Schematycznie

bardzo podobny proces do gry telefonicznej - nadejdzie moment, w którym nie będzie żadnej zmienności sygnału rzeczywistego początkowego szeregu czasowego znalezionego w coraz bardziej odległych fragmentach samego siebie.

---

Identyfikacja modelu MA jest często najlepiej przeprowadzana za pomocą ACF, a nie PACF .

W przypadku modelu MA teoretyczny PACF nie wyłącza się, ale w pewnym stopniu zwęża się w kierunku 0. Bardziej wyraźny wzór dla modelu MA znajduje się w ACF. ACF będzie miał niezerowe autokorelacje tylko w opóźnieniach związanych z modelem.

Pojęcie średniej ruchomej w modelu szeregów czasowych jest błędem z przeszłości (pomnożonym przez współczynnik).

$q^{\text{th}}$

$$x_t = \mu + w_t +\theta_1w_{t-1}+\theta_2w_{t-2}+\dots + \theta_qw_{t-q}$$

$w_t \overset{iid}{\sim} N(0, \sigma^2_w).$

Tutaj nie chodzi o podobieństwo wiadomości w punktach czasowych, które jest przeszukiwane krok po kroku wstecz, lecz raczej wkład hałasu, który wyobrażam sobie jako często ogromne odchylenia, które losowy spacer może prowadzić wzdłuż linii czasu:

Istnieje wiele, stopniowo odseparowanych sekwencji, które są skorelowane, odrzucając jakikolwiek wkład etapów pośrednich. Byłby to wykres zaangażowanych operacji:

Pod tym względem „CV jest fajne!” nie różni się całkowicie od „Naomi ma basen”. Z punktu widzenia hałasu rymy są tam aż do początku gry.

Robert Nau z Duke's Fuqua School of Business szczegółowo i nieco intuicyjnie wyjaśnia, w jaki sposób można wykorzystać wykresy ACF i PACF do wyboru zamówień AR i MA tu i tutaj . Poniżej krótko streszczam jego argumenty.

Proste wyjaśnienie, dlaczego PACF identyfikuje zamówienie AR

$k$$k$$k$

Pełniejsze objaśnienie, które dotyczy również użycia ACF do identyfikacji zamówienia MA

Szeregi czasowe mogą mieć podpisy AR lub MA:

• Sygnatura AR odpowiada wykresowi PACF wykazującemu ostre odcięcie i wolniej rozkładający się ACF;
• Sygnatura MA odpowiada wykresowi ACF wykazującemu ostre odcięcie i wykresowi PACF, który rozpada się wolniej.

Podpisy AR są często kojarzone z dodatnią autokorelacją w opóźnieniu 1, co sugeruje, że szereg jest nieco „niedofesjonalny” (oznacza to, że konieczne jest dalsze różnicowanie, aby całkowicie wyeliminować autokorelację). Ponieważ warunki AR osiągają częściowe różnicowanie (patrz poniżej), można to naprawić poprzez dodanie terminu AR do modelu (stąd nazwa tego podpisu). Dlatego wykres PACF z ostrym odcięciem (któremu towarzyszy powoli rozkładający się wykres ACF z dodatnim pierwszym opóźnieniem) może wskazywać kolejność terminu AR. Nau określa to następująco:

Jeśli PACF z różnej serii wykazuje ostre odcięcie i / lub autokorelacja lag-1 jest dodatnia - tj. Jeśli seria wydaje się nieco „niezróżnicowana” - rozważ rozważ dodanie terminu AR do modelu. Opóźnienie, z jakim odcina się PACF, to wskazana liczba warunków AR.

Z drugiej strony podpisy MA są zwykle kojarzone z ujemnymi pierwszymi opóźnieniami, co sugeruje, że seria jest „nadmiernie zróżnicowana” (tj. Konieczne jest częściowe anulowanie różnicowania, aby uzyskać serię stacjonarną). Ponieważ warunki MA mogą anulować kolejność różnicowania (patrz poniżej), wykres ACF serii z podpisem MA wskazuje niezbędne zamówienie MA:

Jeśli ACF z różnej serii wykazuje ostre odcięcie i / lub autokorelacja lag-1 jest ujemna - tj. Jeśli seria wydaje się nieco „nadmiernie zróżnicowana” - rozważ rozważ dodanie terminu MA do modelu. Opóźnienie, z jakim odcina się ACF, to wskazana liczba warunków MA.

Dlaczego warunki AR osiągają częściowe różnicowanie, a warunki MA częściowo anulują poprzednie różnicowanie

Weź podstawowy model ARIMA (1,1,1), przedstawiony bez stałej dla uproszczenia:

$y_t = Y_t - Y_{t-1}$

$y_t = \phi y_{t-1} + e_t - \theta e_{t-1}$

$B$

$y_t = (1-B)Y_t$

$y_t = \phi B y_t + e_t - \theta B e_t$

które można dodatkowo uprościć, aby uzyskać:

$(1-\phi B) y_t = (1-\theta B) e_t$

lub równoważnie:

$(1-\phi B)(1-B) Y_t = (1-\theta B)e_t$

$(1-\phi B)$$\phi \in (0,1)$$B$$(1-\theta B)$$(1-B)$

Na wyższym poziomie oto, jak to zrozumieć. (Jeśli potrzebujesz bardziej matematycznego podejścia, chętnie skorzystam z niektórych notatek na temat analizy szeregów czasowych)

ACF i PACF są teoretycznymi konstruktami statystycznymi, podobnie jak oczekiwana wartość lub wariancja, ale w różnych domenach. W ten sam sposób, w jaki pojawiają się oczekiwane wartości podczas badania zmiennych losowych, ACF i PACF pojawiają się podczas badania szeregów czasowych.

Podczas badania zmiennych losowych pojawia się pytanie, jak oszacować ich parametry, czyli tam, gdzie wchodzi metoda momentów, MLE i innych procedur i konstrukcji, a także sprawdzanie oszacowań, ich standardowych błędów itp.

Sprawdzanie szacowanego ACF i PACF pochodzi z tego samego pomysłu, szacowania parametrów losowego procesu szeregów czasowych. Masz pomysł?

Jeśli uważasz, że potrzebujesz bardziej matematycznej odpowiedzi, daj mi znać, a postaram się sprawdzić, czy uda mi się stworzyć coś do końca dnia.