W jaki sposób wyprowadza się funkcję kosztu z regresji logistycznej

Robię kurs Machine Learning Stanford na Coursera.

W rozdziale dotyczącym regresji logistycznej funkcja kosztu jest następująca:

Następnie uzyskuje się tutaj:

Próbowałem uzyskać pochodną funkcji kosztu, ale dostałem coś zupełnie innego.

Jak otrzymuje się pochodną?

Jakie są kroki pośrednie?

Na podstawie notatek z kursu, które nie są dostępne (w tym to wyprowadzenie) poza notatkami wniesionymi przez studentów na stronie kursu Coursera Machine Learning Andrew Ng .

---

W dalszej części indeks górny oznacza poszczególne pomiary lub „przykłady” treningu.$(i)$

$\small \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} = \frac{\partial}{\partial \theta_j} \,\frac{-1}{m}\sum_{i=1}^m \left[ y^{(i)}\log\left(h_\theta \left(x^{(i)}\right)\right) + (1 -y^{(i)})\log\left(1-h_\theta \left(x^{(i)}\right)\right)\right] \\[2ex]\small\underset{\text{linearity}}= \,\frac{-1}{m}\,\sum_{i=1}^m \left[ y^{(i)}\frac{\partial}{\partial \theta_j}\log\left(h_\theta \left(x^{(i)}\right)\right) + (1 -y^{(i)})\frac{\partial}{\partial \theta_j}\log\left(1-h_\theta \left(x^{(i)}\right)\right) \right] \\[2ex]\Tiny\underset{\text{chain rule}}= \,\frac{-1}{m}\,\sum_{i=1}^m \left[ y^{(i)}\frac{\frac{\partial}{\partial \theta_j}h_\theta \left(x^{(i)}\right)}{h_\theta\left(x^{(i)}\right)} + (1 -y^{(i)})\frac{\frac{\partial}{\partial \theta_j}\left(1-h_\theta \left(x^{(i)}\right)\right)}{1-h_\theta\left(x^{(i)}\right)} \right] \\[2ex]\small\underset{h_\theta(x)=\sigma\left(\theta^\top x\right)}=\,\frac{-1}{m}\,\sum_{i=1}^m \left[ y^{(i)}\frac{\frac{\partial}{\partial \theta_j}\sigma\left(\theta^\top x^{(i)}\right)}{h_\theta\left(x^{(i)}\right)} + (1 -y^{(i)})\frac{\frac{\partial}{\partial \theta_j}\left(1-\sigma\left(\theta^\top x^{(i)}\right)\right)}{1-h_\theta\left(x^{(i)}\right)} \right] \\[2ex]\Tiny\underset{\sigma'}=\frac{-1}{m}\,\sum_{i=1}^m \left[ y^{(i)}\, \frac{\sigma\left(\theta^\top x^{(i)}\right)\left(1-\sigma\left(\theta^\top x^{(i)}\right)\right)\frac{\partial}{\partial \theta_j}\left(\theta^\top x^{(i)}\right)}{h_\theta\left(x^{(i)}\right)} - (1 -y^{(i)})\,\frac{\sigma\left(\theta^\top x^{(i)}\right)\left(1-\sigma\left(\theta^\top x^{(i)}\right)\right)\frac{\partial}{\partial \theta_j}\left(\theta^\top x^{(i)}\right)}{1-h_\theta\left(x^{(i)}\right)} \right] \\[2ex]\small\underset{\sigma\left(\theta^\top x\right)=h_\theta(x)}= \,\frac{-1}{m}\,\sum_{i=1}^m \left[ y^{(i)}\frac{h_\theta\left( x^{(i)}\right)\left(1-h_\theta\left( x^{(i)}\right)\right)\frac{\partial}{\partial \theta_j}\left(\theta^\top x^{(i)}\right)}{h_\theta\left(x^{(i)}\right)} - (1 -y^{(i)})\frac{h_\theta\left( x^{(i)}\right)\left(1-h_\theta\left(x^{(i)}\right)\right)\frac{\partial}{\partial \theta_j}\left( \theta^\top x^{(i)}\right)}{1-h_\theta\left(x^{(i)}\right)} \right] \\[2ex]\small\underset{\frac{\partial}{\partial \theta_j}\left(\theta^\top x^{(i)}\right)=x_j^{(i)}}=\,\frac{-1}{m}\,\sum_{i=1}^m \left[y^{(i)}\left(1-h_\theta\left(x^{(i)}\right)\right)x_j^{(i)}- \left(1-y^{i}\right)\,h_\theta\left(x^{(i)}\right)x_j^{(i)} \right] \\[2ex]\small\underset{\text{distribute}}=\,\frac{-1}{m}\,\sum_{i=1}^m \left[y^{i}-y^{i}h_\theta\left(x^{(i)}\right)- h_\theta\left(x^{(i)}\right)+y^{(i)}h_\theta\left(x^{(i)}\right) \right]\,x_j^{(i)} \\[2ex]\small\underset{\text{cancel}}=\,\frac{-1}{m}\,\sum_{i=1}^m \left[y^{(i)}-h_\theta\left(x^{(i)}\right)\right]\,x_j^{(i)} \\[2ex]\small=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[h_\theta\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right]\,x_j^{(i)}$

---

Pochodną funkcji sigmoidalnej jest

$\Tiny\begin{align}\frac{d}{dx}\sigma(x)&=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)\\[2ex] &=\frac{-(1+e^{-x})'}{(1+e^{-x})^2}\\[2ex] &=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}\\[2ex] &=\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)\left(\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\right)\\[2ex] &=\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)\,\left(\frac{1+e^{-x}}{1+e^{-x}}-\frac{1}{1+e^{-x}}\right)\\[2ex] &=\sigma(x)\,\left(\frac{1+e^{-x}}{1+e^{-x}}-\sigma(x)\right)\\[2ex] &=\sigma(x)\,(1-\sigma(x)) \end{align}$

Aby uniknąć wrażenia nadmiernej złożoności materii, spójrzmy tylko na strukturę rozwiązania.

Z uproszczeniem i pewnym nadużyciem notacji, niech będzie terminem w sumie , a jest funkcją : $G(\theta)$$J(\theta)$$h = 1/(1+e^{-z})$$z(\theta)= x \theta$

$$G = y \cdot \log(h)+(1-y)\cdot \log(1-h)$$

Możemy użyć zasadę łańcucha: i rozwiązać jeden po one ( i są stałe).$\frac{d G}{d \theta}=\frac{d G}{d h}\frac{d h}{d z}\frac{d z}{d \theta}$$x$$y$

$$\frac{d G}{\partial h} = \frac{y} {h} - \frac{1-y}{1-h} = \frac{y - h}{h(1-h)}$$ Dla sigmoid utrzymuje, co jest tylko mianownikiem poprzedniej instrukcji.$\frac{d h}{d z} = h (1-h)$

Na koniec .$\frac{d z}{d \theta} = x$

Łączenie wyników razem daje poszukiwane wyrażenie: Nadzieja, która pomaga.

$$\frac{d G}{d \theta} = (y-h)x$$

Podziękowania dla tej odpowiedzi należą się Antoniemu Parelladzie z komentarzy, które moim zdaniem zasługują na bardziej znaczące miejsce na tej stronie (ponieważ pomogło mi to, gdy wiele innych odpowiedzi tego nie zrobiło). Ponadto, nie jest to pełne wyprowadzenie, ale bardziej wyraźne stwierdzenie . (Aby uzyskać pełne wyprowadzenie, zobacz inne odpowiedzi).$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta}$

$$\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta} = \frac{1}{m} \cdot X^T\big(\sigma(X\theta)-y\big)$$

gdzie

$$\begin{equation} \begin{aligned} X \in \mathbb{R}^{m\times n} &= \text{Training example matrix} \\ \sigma(z) &= \frac{1}{1+e^{-z}} = \text{sigmoid function} = \text{logistic function} \\ \theta \in \mathbb{R}^{n} &= \text{weight row vector} \\ y &= \text{class/category/label corresponding to rows in X} \end{aligned} \end{equation}$$

Ponadto implementacja w języku Python dla tych, którzy chcą obliczyć gradient w odniesieniu do .$J$$\theta$

import numpy
def sig(z):
return 1/(1+np.e**-(z))


def compute_grad(X, y, w):
    """
    Compute gradient of cross entropy function with sigmoidal probabilities

    Args: 
        X (numpy.ndarray): examples. Individuals in rows, features in columns
        y (numpy.ndarray): labels. Vector corresponding to rows in X
        w (numpy.ndarray): weight vector

    Returns: 
        numpy.ndarray 

    """
    m = X.shape[0]
    Z = w.dot(X.T)
    A = sig(Z)
    return  (-1/ m) * (X.T * (A - y)).sum(axis=1) 

Dla tych z nas, którzy nie są tak silni w rachunku różniczkowym, ale chcieliby bawić się dostosowując funkcję kosztów i muszą znaleźć sposób na obliczenie pochodnych ... skrót do rachunku ponownego uczenia się to narzędzie online do automatycznego zapewniania wyprowadzenie, wraz z objaśnieniami krok po kroku reguły.

https://www.derivative-calculator.net