Jak interpretować moją regresję z pierwszymi zmiennymi różnicowanymi?

Mam dwie serie czasowe:

Pełnomocnik dla premii za ryzyko rynkowe (ERP; czerwona linia)
Stopa wolna od ryzyka, w pobliżu obligacji skarbowej (niebieska linia)

Premiowa premia za ryzyko i stopa wolna od ryzyka w czasie

Chcę sprawdzić, czy stopa wolna od ryzyka może wyjaśnić ERP. Niniejszym zasadniczo postępowałem zgodnie z radą Tsay (2010, 3. wydanie, str. 96): Financial Time Series:

Dopasuj model regresji liniowej i sprawdź szeregowe korelacje reszt.
Jeśli szereg rezydualny jest niestabilnością pierwiastkową, weź pierwszą różnicę zarówno zmiennych zależnych, jak i objaśniających.

Robiąc pierwszy krok, otrzymuję następujące wyniki:

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)     6.77019    0.25103   26.97   <2e-16 ***
Risk_Free_Rate -0.65320    0.04123  -15.84   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Zgodnie z oczekiwaniami, relacja jest ujemna i znacząca. Jednak reszty są szeregowo skorelowane:

Funkcja ACF reszty regresji stopy wolnej od ryzyka na ERP

Dlatego najpierw różnicuję zmienną zależną i objaśniającą. Oto co otrzymuję:

Coefficients:
                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)    -0.002077   0.016497  -0.126      0.9    
Risk_Free_Rate -0.958267   0.053731 -17.834   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

A ACF reszt wygląda następująco:

Funkcja ACF reszty regresji stopy wolnej od ryzyka na ERP (zróżnicowana)

Ten wynik wygląda świetnie: po pierwsze, reszty są teraz nieskorelowane. Po drugie, relacja wydaje się teraz bardziej negatywna.

Oto moje pytania (pewnie już się zastanawiałeś ;-) Pierwsza regresja, którą zinterpretowałbym jako (problemy ekonometryczne) „jeśli stopa wolna od ryzyka wzrośnie o jeden punkt procentowy, ERP spadnie o 0,65 punktu procentowego”. Właściwie, po zastanowieniu się nad tym przez jakiś czas, interpretowałbym drugą regresję tak samo (teraz powodując spadek o 0,96 punktu procentowego). Czy ta interpretacja jest poprawna? To dziwne, że transformuję zmienne, ale nie muszę zmieniać mojej interpretacji. Jeśli jednak jest to poprawne, dlaczego wyniki się zmieniają? Czy to tylko wynik problemów ekonometrycznych? Jeśli tak, to czy ktoś ma pojęcie, dlaczego moja druga regresja wydaje się być jeszcze „lepsza”? Zwykle zawsze czytam, że możesz mieć fałszywe korelacje, które znikają po tym, jak zrobisz to poprawnie. Tutaj,

regression time-series

— Christoph_J
źródło

Odpowiedzi:

y_{t} = β_{0} + β_{1} x_{t} + β_{2} t + ϵ_{t} .

$\begin{equation*} y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + \beta_2 t + \epsilon_t. \end{equation*}$

y_{t - 1}

$y_{t-1}$

β_{0} + β_{1} x_{t - 1} + β_{2} (t - 1) + ϵ_{t - 1}

$\beta_0 + \beta_1 x_{t-1} + \beta_2 ({t-1}) + \epsilon_{t-1}$

y_{t - 1}

$y_{t-1}$

Δ y_{t} = β_{1} Δ x_{t} + β_{2} + Δ ϵ_{t} .

$\begin{equation*} \Delta y_t = \beta_1 \Delta x_t + \beta_2 + \Delta \epsilon_t. \end{equation*}$

Δ x

$\Delta x$

β_{1}

$\beta_1$

ϵ_{t} = \sum_{s = 0}^{t - 1} ν_{s},

$\begin{equation*} \epsilon_t = \sum_{s=0}^{t-1}{\nu_s}, \end{equation*}$

ν_{s}

$\nu_s$

$\epsilon$

Z tych powodów ważne jest, aby różnicować tylko te procesy, które są niestacjonarne z powodu pierwiastków jednostkowych i stosować odstraszanie dla tak zwanych trendów stacjonarnych.

(Pierwiastek jednostkowy powoduje zmianę wariancji szeregu i faktycznie eksploduje w czasie; jednak oczekiwana wartość tej serii jest stała. Jednak stacjonarny trend trendu ma przeciwne właściwości).

— Charlie
źródło

Świetna odpowiedź, dziękuję za wyjaśnienie. To bardzo pomaga.

— Christoph_J

+1 Ostatnie zdanie jest złote i szkoda, że nie widziałem tego tak wyraźnie, kiedy po raz pierwszy spotkałem się z ideą różnicowania.

— Wayne

ϵ

$\epsilon$

Świetne punkty, @cardinal. Wprowadzono zmiany. Mam nadzieję, że wyjaśnią wszystko.

— Charlie

y

$y$

y

$y$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y_{t - 1}

$y_{t-1}$

Pierwsze różnicowanie usuwa trendy liniowe, które wydają się utrzymywać w oryginalnych resztkach. Wygląda na to, że pierwsze różnicowanie usunęło trend w resztach i pozostajesz z zasadniczo nieskorelowanymi resztami. Myślę, że być może trend wartości rezydualnych ukrył część negatywnego związku między ERP a stopą wolną od ryzyka i to byłby powód, dla którego model wykazuje silniejszy związek po różnicowaniu.

— Michael R. Chernick
źródło