Jaki jest powód, dla którego używamy logarytmu naturalnego (ln) zamiast logować do podstawy 10 przy określaniu funkcji w ekonometrii?

33

econometrics

Sprawdź to, aby uzyskać szczegółowe informacje youtube.com/watch?v=IXhucU6214M&feature=youtu.be, dzięki temu dowiesz się, dlaczego dzienniki naturalne są obliczane na podstawie przyczyn i referencji znanych autorów

— Amit Kumar

53

W kontekście regresji liniowej w naukach społecznych Gelman i Hill piszą [1]:

Preferujemy dzienniki naturalne (to znaczy, podstawa logarytmów ), ponieważ, jak opisano powyżej, współczynniki w skali logarytmu naturalnego są bezpośrednio interpretowane jako przybliżone różnice proporcjonalne: przy współczynniku 0,06 różnica 1 na odpowiada około 6 Różnica w% itd. $e$ $x$ $y$

[1] Andrew Gelman i Jennifer Hill (2007). Analiza danych za pomocą regresji i modeli wielopoziomowych / hierarchicznych . Cambridge University Press: Cambridge; Nowy Jork, s. 60–61.

— fmark
źródło

3

+1: Z konkretnego powodu preferowania logarytmu naturalnego.

— Neil G,

2

Mówiąc bardziej ogólnie, funkcja wykładnicza jest jedyną funkcją ciągłą równą jej pochodnej.

— user603

1

czy nie miałoby to zastosowania, gdybyśmy zastosowali log10 do zmiennych zależnych i niezależnych?

— cs0815

2

@ cs0815, jeśli zastosujesz rozszerzenie Taylora wokół punktu b do funkcji wykładniczej , przy to otrzymujemy dla pierwszych dwóch wyrażeń: a staje się 1 dla , dzięki czemu można użyć , co jednak jest prawdą tylko dla małych x. Możesz także po prostu wypróbować exp (1.06) / exp (1) = 1.0618 i 10 ^ 1.06 / 10 ^ 1 = 1.1418154

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (b)}{n!} (x - b)^{n}

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(b)}{n!}(x-b)^n$

f (x) = a^{x}

$f(x)=a^x$

f^{(n)} (x) = l n (a)^{n} a^{x}

$f^{(n)}(x) = ln(a)^n a^x$

f (b + x) = f (b) + l n (a) f (b) x + O (x^{2})

$f(b+x) = f(b) + ln(a)f(b)x + \mathcal{O}(x^2)$

l n (a)

$ln(a)$

a = e

$a=e$

f (b + x) \sim f (b) (1 + x)

$f(b+x) \sim f(b) (1+x)$

— Sextus Empiricus

14

Nie ma bardzo silnego powodu, aby preferować logarytmy naturalne. Załóżmy, że oceniamy model:

ln Y = a + b ln X

Zależność między logarytmami naturalnymi (ln) i podstawowymi 10 (log) wynosi ln X = 2,303 log X (źródło) . Stąd model odpowiada:

2.303 log Y = a + 2.303b log X

lub wprowadzenie a / 2.303 = a *:

log Y = a* + b log X

Można oszacować każdą formę modelu, z równoważnymi wynikami.

Niewielką zaletą logarytmów naturalnych jest to, że ich pierwsza różnica jest prostsza: d (ln X) / dX = 1 / X, zaś d (log X) / dX = 1 / ((ln 10) X) (źródło) .

Źródło w podręczniku ekonometrii mówiące, że można zastosować dowolną formę logarytmu, patrz Gujarati, Essentials of Econometrics, wydanie trzecie 2006 str. 288.

— Adam Bailey
źródło

2

Log naturalny jest także przydatny w regresji szeregów czasowych półlogarytmicznych, ponieważ oszacowane współczynniki można interpretować jako stale złożone stopy wzrostu.

— Jason B

6

Myślę, że logarytm naturalny jest używany, ponieważ wykładnicza jest często używana podczas obliczania odsetek / wzrostu.

Jeśli pracujesz w sposób ciągły i sumujesz odsetki, w przyszłości uzyskasz pewną wartość równą (gdzie r oznacza stopę procentową, a N nominalną kwotę Suma). $F(t)=N.e^{rt}$

Ponieważ w rachunku różniczkowym kończy się wykładnikiem, najlepszym sposobem na pozbycie się go jest użycie logarytmu naturalnego, a jeśli wykonasz operację odwrotną, dziennik naturalny da ci czas potrzebny do osiągnięcia określonego wzrostu.

Dobrą rzeczą w logarytmach (czy to naturalne, czy nie) jest fakt, że możesz zamienić multiplikacje w dodatki.

Co do matematycznych wyjaśnień, dlaczego używamy wykładniczej wartości przy składaniu odsetek, możesz ją znaleźć tutaj: http://en.wikipedia.org/wiki/Continuously_compounded_interest#Periodic_compounding

Zasadniczo musisz przyjąć limit, aby uzyskać nieskończoną liczbę płatności odsetek, co ostatecznie stanowi definicję wykładniczą

Nawet sądzono, że ciągły czas nie jest szeroko stosowany w prawdziwym życiu (spłacasz kredyty hipoteczne miesięcznymi płatnościami, nie co sekundę ...), tego rodzaju obliczenia są często stosowane przez analityków ilościowych.

— Mesop
źródło

Prawdopodobnie udzieliłbym takiej odpowiedzi. To, że nie ma znaczenia w modelowaniu, jest również dobre. Równie dobrze moglibyśmy użyć bazy 2. Różnica jest tylko stałym czynnikiem

— Michael R. Chernick

N r^{t}

$Nr^t$

4

Dodatkowy powód, dla którego ekonomiści lubią stosować regresje z logarytmicznymi formami funkcjonalnymi, jest ekonomiczny: współczynniki można rozumieć jako elastyczności funkcji Cobba-Douglasa. Ta funkcja jest prawdopodobnie najczęściej stosowana przez ekonomistów do analizowania zagadnień dotyczących zachowań mikroekonomicznych (preferencje konsumentów, technologia, funkcje produkcyjne) oraz kwestii makroekonomicznych (wzrost gospodarczy). Termin elastyczność jest używany do opisania stopnia reakcji zmiany zmiennej w stosunku do innej.

— użytkownik21259
źródło

2

$e^{-{1\over2}x^2}$

— Wayne
źródło

1

(\sqrt{e})^{- x^{2}}

$(\sqrt{e})^{-x^2}$

2

Jedynym powodem jest to, że rozszerzenie Taylora daje intuicyjną interpretację wyniku.

Δ \ln Y_{t} = \ln Y_{t} - \ln Y_{t - 1} = \ln \frac{Y_{t}}{Y_{t - 1}} = \ln (1 + \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}})

$\Delta \ln Y_t=\ln Y_t-\ln Y_{t-1}=\ln\frac{Y_{t}}{Y_{t-1}}=\ln\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)$

\frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

Δ \ln Y_{t} \approx \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}} - \frac{1}{2} {(\frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}})}^{2} + \dots

$\Delta\ln Y_t\approx\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}-\frac 1 2 \left(\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)^2+\dots$

Δ \ln Y_{t} \approx \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\Delta\ln Y_t\approx\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

\dots = \dots + β \times Δ \ln Y_{t}

$\dots=\dots+\beta\times\Delta\ln Y_t$

β

$\beta$

\dots = \dots + β \times Δ \log_{10} Y_{t} \approx \dots + β \times \frac{1}{\ln (10)} \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\dots=\dots+\beta\times\Delta\log_{10} Y_t\\ \approx\dots+\beta\times\frac 1 {\ln(10)}\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

β

$\beta$

— Aksakal
źródło

1

Jest dobry powód, aby użyć transformacji logarytmicznej zmiennej, jeśli uważasz, że odwrotna funkcja logarytmu jest funkcją wykładniczą, która jest ciągłą wersją łączenia. Zmienna ekonomiczna, która rośnie jednocześnie o około 10%, może zostać przekształcona w zmienną ze średnią około 10 (plus stała). Nie można tego zrobić z transformacją logarytmu o innej podstawie.

— Ikuyasu
źródło