Możesz użyć normalnych testów współczynnika wiarygodności. Oto prosty przykład. Najpierw utwórzmy obserwacje od 10 osób na podstawie twoich parametrów:
Asym = .6
xmid = 23
scal = 5
n = 10
time = seq(1,60,5)
d = data.frame(time=rep(time,10),
Asym, xmid, scal, group=0)
d$subj = factor(rep(1:n, each=length(time)))
Teraz połowa z nich ma różne asymptoty i parametry punktu środkowego:
ind = (nrow(d)/2):nrow(d)
d$Asym[ind] = d$Asym[ind] + .1
d$xmid[ind] = d$xmid[ind] + 10
d$group[ind] = 1
d$group=factor(d$group)
Możemy symulować wartości odpowiedzi dla wszystkich osób w oparciu o model:
set.seed(1)
d = transform(d, y = Asym/(1+exp((xmid-time)/scal)) +
rnorm(nrow(d), sd=.04))
library(lattice)
xyplot(y~time | group, group=subj,
data=d, type=c("g","l"), col="black")
Widzimy wyraźne różnice między dwiema grupami, różnice, które modele powinny być w stanie wychwycić. Teraz spróbujmy najpierw dopasować prosty model, ignorując grupy:
> fm1 = nls(y ~ SSlogis(time, Asym, xmid, scal), data=d)
> coef(fm1)
Asym xmid scal
0.6633042 28.5219166 5.8286082
Być może zgodnie z oczekiwaniami, szacunki Asymi xmidsą gdzieś pomiędzy rzeczywistymi wartościami parametrów dla dwóch grup. (To nie byłoby oczywiste, ponieważ zmieniono również parametr skali, aby dostosować się do błędnej specyfikacji modelu.) Teraz dopasujmy pełny model z różnymi parametrami dla dwóch grup:
> fm2 = nls(y ~ SSlogis(time, Asym[group], xmid[group], scal[group]),
data=d,
start=list(Asym=rep(.6,2), xmid=rep(23,2), scal=rep(5,2)))
> coef(fm2)
Asym1 Asym2 xmid1 xmid2 scal1 scal2
0.602768 0.714199 22.769315 33.331976 4.629332 4.749555
Ponieważ oba modele są zagnieżdżone, możemy wykonać test współczynnika wiarygodności:
> anova(fm1, fm2)
Analysis of Variance Table
Model 1: y ~ SSlogis(time, Asym, xmid, scal)
Model 2: y ~ SSlogis(time, Asym[group], xmid[group], scal[group])
Res.Df Res.Sum Sq Df Sum Sq F value Pr(>F)
1 117 0.70968
2 114 0.13934 3 0.57034 155.54 < 2.2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Niezwykle mała wartość p wyraźnie pokazuje, że prosty model był zbyt prosty; dwie grupy nie różnią się pod względem parametrów.
Jednak szacunki dwóch parametrów skali są prawie identyczne, z różnicą zaledwie .1. Być może potrzebujemy tylko jednego parametru skali? (Oczywiście wiemy, że odpowiedź brzmi tak, ponieważ symulowaliśmy dane.)
(Różnica między dwoma asymptotycznymi parametrami jest również tylko .1, ale to duża różnica, jeśli weźmiemy pod uwagę standardowe błędy - patrz summary(fm2).)
Więc dopasować nowy model, z wspólny scaleparametr dla dwóch grup, ale inny Asymi xmidparametrów, jak poprzednio:
> fm3 = nls(y ~ SSlogis(time, Asym[group], xmid[group], scal),
data=d,
start=list(Asym=rep(.6,2), xmid=rep(23,2), scal=5))
> coef(fm3)
Asym1 Asym2 xmid1 xmid2 scal
0.6035251 0.7129002 22.7821155 33.3080264 4.6928316
A ponieważ model zredukowany jest zagnieżdżony w pełnym modelu, możemy ponownie wykonać test współczynnika wiarygodności:
> anova(fm3, fm2)
Analysis of Variance Table
Model 1: y ~ SSlogis(time, Asym[group], xmid[group], scal)
Model 2: y ~ SSlogis(time, Asym[group], xmid[group], scal[group])
Res.Df Res.Sum Sq Df Sum Sq F value Pr(>F)
1 115 0.13945
2 114 0.13934 1 0.00010637 0.087 0.7685
Duża wartość p wskazuje, że zredukowany model pasuje, podobnie jak pełny model, zgodnie z oczekiwaniami.
Możemy oczywiście wykonać podobne testy, aby sprawdzić, czy potrzebne są różne wartości parametrów dla just Asym, just xmidczy oba. To powiedziawszy, nie zalecałbym wykonywania regresji krokowej w ten sposób, aby wyeliminować parametry. Zamiast tego po prostu przetestuj pełny model ( fm2) na prostym modelu ( fm1) i ciesz się z wyników. Aby oszacować różnice, pomocne będą wykresy.