Średnia geometryczna jest obiektywnym estymatorem średniej, którego ciągłego rozkładu?

Czy istnieje ciągły rozkład, który można wyrazić w formie zamkniętej, którego średnia jest taka, że średnia geometryczna próbek jest obiektywnym estymatorem tej średniej?

Aktualizacja: Właśnie zdałem sobie sprawę, że moje próbki muszą być dodatnie (w przeciwnym razie średnia geometryczna może nie istnieć), więc może ciągłe nie jest właściwym słowem. Co powiesz na rozkład, który jest zerowy dla wartości ujemnych zmiennej losowej i jest ciągły dla wartości dodatnich. Coś w stylu okrojonej dystrybucji.

distributions geometric-mean

— użytkownik53608
źródło

Rozkład może być ciągły, mając ściśle dodatnią przestrzeń próbki (np. Rozkład gamma).

— Gracz

Czy masz również na myśli przykład, w którym średnia geometryczna z próbki jest bezstronnym estymatorem pierwszego momentu? Widziałem tylko średnią geometryczną dyskretnego zestawu danych i nie jestem pewien, jak zdefiniowana zostanie „prawdziwa” (tj. Na poziomie populacji) średnia geometryczna dla ciągłego rozkładu ... Może ?

e x p (E (\log (X)))

${\rm exp}( E(\log(X)) )$

— Gracz

Działa dla rozkładu logarytmicznego.

— Michael R. Chernick

Posiada jeśli zmienna losowa równa się pewne pozytywne stały skalar prawie na pewno . Nie inaczej

X

$X$

c

$c$

— Matthew Gunn

Odpowiedzi:

Sądzę, że pytasz, jaki jest, jeśli w ogóle, rozkład rv , taki, że jeśli mamy próbkę o wielkości z tego rozkładu, to utrzyma, że $X$ $n>1$

E [G M] = E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X)

$E[GM] = E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E(X)$

Ze względu na założenie , że mamy

E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X_{1}^{1 / n} \cdot . . . \cdot X_{n}^{1 / n}) = E (X_{1}^{1 / n}) \cdot . . . \cdot E (X_{n}^{1 / n}) = {[E (X^{1 / n})]}^{n}

$E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E\left(X_1^{1/n}\cdot ...\cdot X_n^{1/n}\right) = E\left (X_1^{1/n}\right)\cdot ...\cdot E\left(X_n^{1/n}\right) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n$

i pytamy, czy możemy

{[E (X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

Ale z powodu nierówności Jensena i faktu, że funkcja władzy jest ściśle wypukła dla mocy wyższych niż jedność, mamy to, prawie na pewno dla nie-zdegenerowanej (niestałej) zmiennej losowej,

{[E (X^{1 / n})]}^{n} < E {[(X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n < E\left[\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

Więc nie ma takiej dystrybucji.

W odniesieniu do wzmianki o rozkładzie logarytmiczno-normalnym w komentarzu, średnia geometryczna ( ) próbki z rozkładu logarytmiczno-normalnego jest tendencyjnym, ale asymptotycznie spójnym estymatorem mediany . Wynika to z faktu, że w przypadku rozkładu logarytmicznego tak jest $GM$

E (X^{s}) = \exp {s μ + \frac{s^{2} σ^{2}}{2}}

$E(X^s) = \exp\left\{s\mu + \frac {s^2\sigma^2}{2}\right \}$

(gdzie i są parametrami podstawowej normy, a nie średnią i wariancją log-normal). $\mu$ $\sigma$

W naszym przypadku więc otrzymujemy $s = 1/n$

E (G M) = {[E (X^{1 / n})]}^{n} = {[\exp {(μ / n) + \frac{σ^{2}}{2 n^{2}}}]}^{n} = \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}}

$E(GM) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \left[\exp\left\{(\mu/n) + \frac {\sigma^2}{2n^2}\right \}\right]^n = \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \}$

(co mówi nam, że jest to stronniczy estymator mediany). Ale

lim {[E (X^{1 / n})]}^{n} = lim \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}} = e^{μ}

$\lim \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \lim \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \} = e^{\mu}$

która jest medianą rozkładu. Można również wykazać, że wariancja średniej geometrycznej próbki jest zbieżna do zera, a te dwa warunki są wystarczające, aby estymator był asymptotycznie spójny - dla mediany,

G M \to_{p} e^{μ}

$GM \to_p e^{\mu}$

— Alecos Papadopoulos
źródło

Być może należy dodać, że nierówność Jensena, zastosowana z funkcją ściśle wypukłą, jest równością tylko wtedy, gdy jest tak samo stały.

X

$X$

— Olivier,

@Olivier: Myślę, że jest to wystarczająco znana właściwość, że może po prostu dodać bałagan, aby ją uwzględnić. W każdym razie nierówność Jensena tak naprawdę nie jest nawet potrzebna, ponieważ rozważenie przypadku jest już wystarczające w połączeniu z faktem, że implikuje prawie na pewno przez jeszcze bardziej elementarny argument.

n = 2

$n = 2$

V a r (X) = 0

$\mathrm{Var}(X) = 0$

X = 0

$X = 0$

— kardynał

Jest to podobny argument do doskonałej odpowiedzi Alecosa, ponieważ nierówność średniej arytmetycznej, średniej geometrycznej jest konsekwencją nierówności Jensena.

Niech będzie średnią arytmetyczną: $A_n$ $A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
Niech będzie średnią geometryczną: $G_n$ $G_n = \left( \prod_{i=1} X_i \right) ^ \frac{1}{n}$

Że średnia arytmetyczna, średnia geometryczna nierówności stwierdza, że równości wtedy i tylko wtedy, gdy każdy obserwacja jest równa: . (Nierówność AMGM jest konsekwencją nierówności Jensena .) $A_n \geq G_n$ $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Przypadek 1: prawie na pewno $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Następnie . $\operatorname{E}[G_n] = \operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$

W pewnym sensie jest to przypadek całkowicie zdegenerowany.

Przypadek 2: dla $P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$

Istnieje zatem dodatnie prawdopodobieństwo, że średnia geometryczna jest mniejsza niż średnia arytmetyczna. Ponieważ dla wszystkich wyników i , wówczas mamy . $G_n \leq A_n$ $\operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$ $\operatorname{E}[G_n] < \operatorname{E}[X]$

— Matthew Gunn
źródło

Średnia geometryczna jest obiektywnym estymatorem średniej, którego ciągłego rozkładu?

Przypadek 1: prawie na pewnoX1=X2=…=XnX1=X2=…=XnX_1 = X_2 = \ldots = X_n

Przypadek 2: dlaP(Xi≠Xj)>0P(Xi≠Xj)>0P(X_i \neq X_j) > 0i≠ji≠ji\neq j

Przypadek 1: prawie na pewno $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Przypadek 2: dla $P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$