Jak dopasować model Bradley – Terry – Luce w R, bez skomplikowanej formuły?

Model Bradleya-Terry'ego-Luce (BTL) stwierdza, że , gdzie to prawdopodobieństwo, że obiekt zostanie oceniony jako „lepszy”, cięższe itp., niż obiekt oraz i są parametrami.$p_{ji} = logit^{-1}(\delta_j - \delta_i)$$p_{ij}$$j$$i$$\delta_i$$\delta_j$

Wydaje się, że jest to kandydat na funkcję glm, z rodziną = dwumianową. Jednak wzór byłby podobny do „Sukces ~ S1 + S2 + S3 + S4 + ...”, gdzie Sn jest zmienną fikcyjną, to jest 1, jeśli obiekt n jest pierwszym obiektem w porównaniu, -1 jeśli jest drugi i 0 w przeciwnym razie. Wówczas współczynnik Sn będzie odpowiadał .$delta_n$

Byłoby to dość łatwe do zarządzania przy użyciu tylko kilku obiektów, ale mogłoby to prowadzić do bardzo długiej formuły i potrzeby utworzenia zmiennej zastępczej dla każdego obiektu. Zastanawiam się tylko, czy istnieje prostsza metoda. Załóżmy, że nazwa lub liczba dwóch porównywanych obiektów to zmienne (czynniki?) Obiekt1 i Obiekt2, a Sukces to 1, jeśli obiekt 1 zostanie oceniony lepiej, a 0, jeśli obiekt 2 to.

Myślę, że najlepszym pakietem dla danych porównywania w parze (PC) w R jest pakiet prefmod , który pozwala wygodnie przygotowywać dane do dopasowania (log liniowy) modeli BTL w R. Używa Poissona GLM (dokładniej wielomianowego logitu w Poissonie sformułowanie patrz np. ta dyskusja ).

Zaletą jest to, że ma funkcję, prefmod::llbt.designktóra automatycznie konwertuje dane do niezbędnego formatu i niezbędnej matrycy projektowej.

Załóżmy na przykład, że masz 6 obiektów porównanych parami. Następnie

R> library(prefmod)
R> des<-llbt.design(data, nitems=6)

zbuduje macierz projektową z macierzy danych, która wygląda następująco:

P1  0  0 NA  2  2  2  0  0  1   0   0   0   1   0   1   1   2
P2  0  0 NA  0  2  2  0  2  2   2   0   2   2   0   2   1   1
P3  1  0 NA  0  0  2  0  0  1   0   0   0   1   0   1   1   2
P4  0  0 NA  0  2  0  0  0  0   0   0   0   0   0   2   1   1
P5  0  0 NA  2  2  2  2  2  2   0   0   0   0   0   2   2   2
P6  2  2 NA  0  0  0  2  2  2   2   0   0   0   0   2   1   2

z wierszami oznaczającymi ludzi, kolumnami oznaczającymi porównania, a 0 oznacza niezdecydowany 1 oznacza preferowany obiekt 1, a 2 oznacza preferowany obiekt 2. Brakujące wartości są dozwolone. Edycja : Ponieważ prawdopodobnie nie jest to coś, co można wywnioskować na podstawie powyższych danych, przeliterowałem to tutaj. Porównania należy uporządkować w następujący sposób ((12) oznacza średni obiekt porównawczy 1 z obiektem 2):

(12) (13) (23) (14) (24) (34) (15) (25) etc. 

Dopasowanie jest najwygodniej przeprowadzane za pomocą gnm::gnmfunkcji, ponieważ pozwala na modelowanie statystyczne. (Edycja: Można również użyć prefmod::llbt.fitfunkcji, która jest nieco prostsza, ponieważ wymaga tylko zliczeń i macierzy projektu.)

R> res<-gnm(y~o1+o2+o3+o4+o5+o6, eliminate=mu, family=poisson, data=des)
R> summary(res)
  Call:
gnm(formula = y ~ o1 + o2 + o3 + o4 + o5 + o6, eliminate = mu, 
    family = poisson, data = des)

Deviance Residuals: 
   Min      1Q  Median      3Q     Max  
-7.669  -4.484  -2.234   4.625  10.353  

Coefficients of interest:
   Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
o1  1.05368    0.04665  22.586  < 2e-16 ***
o2  0.52833    0.04360  12.118  < 2e-16 ***
o3  0.13888    0.04297   3.232  0.00123 ** 
o4  0.24185    0.04238   5.707 1.15e-08 ***
o5  0.10699    0.04245   2.521  0.01171 *  
o6  0.00000         NA      NA       NA    
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

Std. Error is NA where coefficient has been constrained or is unidentified

Residual deviance: 2212.7 on 70 degrees of freedom
AIC: 2735.3

Należy pamiętać, że termin eliminacji pomija parametry uciążliwe w podsumowaniu. Następnie możesz uzyskać wartościowe parametry (swoje delty) jako

## calculating and plotting worth parameters
R> wmat<-llbt.worth(res)
        worth
o1 0.50518407
o2 0.17666128
o3 0.08107183
o4 0.09961109
o5 0.07606193
o6 0.06140979

I możesz je wykreślić

R> plotworth(wmat)

Jeśli masz wiele obiektów i chcesz szybko napisać obiekt formuły o1+o2+...+on, możesz użyć

R> n<-30
R> objnam<-paste("o",1:n,sep="")
R> fmla<-as.formula(paste("y~",paste(objnam, collapse= "+")))
R> fmla
y ~ o1 + o2 + o3 + o4 + o5 + o6 + o7 + o8 + o9 + o10 + o11 + 
    o12 + o13 + o14 + o15 + o16 + o17 + o18 + o19 + o20 + o21 + 
    o22 + o23 + o24 + o25 + o26 + o27 + o28 + o29 + o30

wygenerować formułę gnm( dla której nie byłbyś potrzebny llbt.fit).

Istnieje artykuł JSS , patrz także https://r-forge.r-project.org/projects/prefmod/ i dokumentacja przez ?llbt.design.