Co to jest „Prior Information Unit”?

Czytałem Wagenmakers (2007) Praktyczne rozwiązanie wszechobecnego problemu wartości p . Intryguje mnie konwersja wartości BIC na czynniki i prawdopodobieństwa Bayesa. Jednak do tej pory nie rozumiem, czym dokładnie jest informacja o jednostce wcześniej . Byłbym wdzięczny za wyjaśnienia ze zdjęciami lub kod R do generowania zdjęć tego konkretnego przeora.

Prior informacji o jednostce jest Prior zależny od danych (zwykle Normalna na wielu odmianach) ze średnią w MLE i dokładnością równą informacjom dostarczonym przez jedną obserwację. Zobacz np. Ten raport techniczny lub ten dokument, aby uzyskać szczegółowe informacje. Ideą UIP jest nadanie przeorowi, że „dane mówią same za siebie”; w większości przypadków dodanie wcześniejszej informacji mówi tak samo, jak jedna obserwacja skoncentrowana na tym, gdzie inne dane „wskazują”, będzie mieć niewielki wpływ na późniejszą analizę. Jednym z jego głównych zastosowań jest wykazanie, że użycie BIC odpowiada, w dużych próbkach, zastosowaniu czynników Bayesa, z UIP na ich parametrach.

Prawdopodobnie warto również zauważyć, że wielu statystyków (w tym Bayesianie) nie czuje się komfortowo przy użyciu czynników Bayesa i / lub BIC w przypadku wielu zastosowanych problemów.

Informacje o jednostce wcześniej oparte są na następującej interpretacji koniugacji:

Ustawiać

• Normalne dane: z z nieznany i znane. Dane można następnie w wystarczającym stopniu podsumować za pomocą średniej próbki, która przed zauważeniem jakiegokolwiek układu odniesienia jest dystrybuowana zgodnie z .$X^{n}=(X_{1}, \ldots, X_{n})$$X_{i} \sim \mathcal{N}( \mu, \sigma^{2})$$\mu$$\sigma^2$$\bar{X} \sim \mathcal{N}(\mu, \tfrac{\sigma^{2}}{n} )$
• Zwykły przed :$\mu$ Z z tą samą wariancją jak w danych.$\mu \sim \mathcal{N} (a, \sigma^{2})$
• Normalne tylne dla :$\mu$ Z gdzie i .$\mu \sim \mathcal{N} (M, v)$$M=\tfrac{1}{n+1}(a + n \bar{x})$$v= \tfrac{\sigma^2}{n+1}$

Interpretacja

Dlatego po zaobserwowaniu danych mamy tylny for który koncentruje się na wypukłej kombinacji obserwacji i tego, co postulowano przed zaobserwowaniem danych, że jest . Co więcej, wariancja tylnej jest następnie podawana przez , stąd, jakbyśmy mieli obserwacji zamiast$\bar{X}=\bar{x}$$\mu$$\bar{x}$$a$$\tfrac{\sigma^{2}}{n+1}$$n+1$$n$porównał rozkład próbkowania średniej próbki. Zauważ, że rozkład próbkowania nie jest taki sam jak rozkład tylny. Niemniej jednak wygląda to tak z tyłu, co pozwala mówić za siebie. Dlatego też, informacje, jednostkę przed dostaje tylnego, która jest głównie skoncentrowany na danych i skurczona do wcześniejszej informacji jako jednorazową karę.$\bar{x}$$a$

Kass i Wasserman wykazali ponadto, że wybór modelu kontra z powyższym wcześniej można dobrze zbliżyć za pomocą kryterium Schwartza (w zasadzie BIC / 2), gdy jest duże.$M_{0}:\mu=a$$M_{1}: \mu \in \mathbf{R}$$n$

Kilka uwag:

• Fakt, że BIC aproksymuje współczynnik Bayesa na podstawie wcześniejszych informacji o jednostce, nie oznacza, że ​​powinniśmy użyć informacji o jednostce przed zbudowaniem czynnika Bayesa. Domyślnym wyborem Jeffreysa (1961) jest użycie Cauchy'ego przed wielkością efektu, patrz także Ly i in. (w druku) w celu wyjaśnienia wyboru Jeffreysa.
• Kass i Wasserman wykazali, że BIC podzielony przez stałą (która wiąże Cauchy'ego z rozkładem normalnym) może być nadal stosowany jako przybliżenie współczynnika Bayesa (tym razem na podstawie wcześniejszego Cauchy'ego zamiast normalnego).

Bibliografia

• Jeffreys, H. (1961). Teoria prawdopodobieństwa . Oxford University Press, Oxford, Wielka Brytania, 3 edycja.
• Kass, RE i Wasserman, L. (1995). „Referencyjny test bayesowski dla zagnieżdżonych hipotez i ich związek z kryterium Schwarza”, Journal of the American Statistics Association , 90, 928-934
• Ly, A., Verhagen, AJ i Wagenmakers, E.-J. (w prasie). Domyślne testy Bayesa oparte na czynnikach Bayesa: wyjaśnienie, rozszerzenie i zastosowanie w psychologii. Journal of Mathematical Psychology.