Podwajanie ogonów w teście permutacji na dwóch próbkach

Załóżmy, że mamy dwie próbki i chcemy ustalić, czy są one pobierane z tego samego rozkładu, przy czym próbki A, B składają się z niektórych liczb całkowitych.

Jeśli przetestujemy to za pomocą testu permutacji z dwiema próbkami, w szczególności patrząc na permutacje, w których różnice w średnich próbkach są tak ekstremalne, jak zaobserwowana różnica: czy jest jakiś powód, aby sądzić, że możemy obliczyć dwustronne p- wartość, patrząc na jeden ogon i podwojenie prawdopodobieństwa?

Tak wydaje się mówić w moich notatkach z wykładów, ale nie rozumiem, dlaczego moglibyśmy założyć, że ogony są symetryczne (lub dlaczego nie pociąga to za sobą takiego założenia). Wyjaśnienia nie były nadchodzące.

Nie ma gwarancji, że rozkład permutacji statystyki testowej będzie symetryczny, więc nie możesz tego zrobić w ten sposób. Zamiast tego dodajesz oba ogony. W przypadku dwóch niezależnych próbek hipotezą zerową jest to, że dwa parametry lokalizacji są równe. Zakładając ciągłe rozkłady i równy rozkład w obu grupach, mamy wymienność pod hipotezą zerową. Statystyka testowa jest różnicą średnich, przy poniżej zera.$T$$E(T) = 0$

Wartość w oryginalnej próbce to , a jej wartości dla permutacji . to skrót od „liczba” czegoś, np. to liczba statystyk testu permutacji. Zatem wartość dla hipotezy dwustronnej to , gdzie$T$$T_{\text{emp}}$$T^{\star}$$\sharp(\cdot)$$\sharp(T^{\star})$$p$$p_{\text{ts}} = p_{\text{left}} + p_{\text{right}}$

$p_{\text{left}} = \frac{\sharp(T^{\star} \, <= \, \text{min}(T_{\text{emp}}, -T_{\text{emp}}))}{\sharp(T^{\star})}$

$p_{\text{right}} = \frac{\sharp(T^{\star} \, >= \, \text{max}(T_{\text{emp}}, -T_{\text{emp}}))}{\sharp(T^{\star})}$

(zakładając, że mamy pełny rozkład permutacji). Porównajmy oba podejścia dla przypadku dwóch niezależnych próbek, kiedy możemy obliczyć dokładny (pełny) rozkład permutacji.

set.seed(1234)
Nj   <- c(9, 8)                      # group sizes
DVa  <- rnorm(Nj[1], 5, 20)^2        # data group 1
DVb  <- rnorm(Nj[2], 10, 20)^2       # data group 2
DVab <- c(DVa, DVb)                  # data from both groups
IV   <- factor(rep(c("A", "B"), Nj)) # grouping factor
idx  <- seq(along=DVab)              # all indices
idxA <- combn(idx, Nj[1])            # all possible first groups

# function to calculate test statistic for a given permutation x
getDM <- function(x) { mean(DVab[x]) - mean(DVab[!(idx %in% x)]) }
resDM <- apply(idxA, 2, getDM)       # test statistic for all permutations
diffM <- mean(DVa) - mean(DVb)       # empirical stest statistic

Teraz obliczyć wartości i zweryfikować proponowane rozwiązanie za pomocą implementacji w pakiecie R. Zauważ, że , więc ma to znaczenie, w jaki sposób obliczasz .$p$coin$p_{\text{left}} \neq p_{\text{right}}$$p_{ts}$

> (pL <- sum(resDM <= min(diffM, -diffM)) / length(resDM))  # left p-value
[1] 0.1755245

> (pR <- sum(resDM >= max(diffM, -diffM)) / length(resDM))  # right p-value
[1] 0.1585356

> 2*pL        # doubling left p-value
[1] 0.351049

> 2*pR        # doubling right p-value
[1] 0.3170712

> pL+pR       # two-sided p-value
[1] 0.3340601

> sum(abs(resDM) >= abs(diffM)) / length(resDM)  # two-sided p-value (more concise)
[1] 0.3340601

# validate with coin implementation
> library(coin)              # for oneway_test()    
> oneway_test(DVab ~ IV, alternative="two.sided", distribution="exact")
Exact 2-Sample Permutation Test
data:  DVab by IV (A, B) 
Z = 1.0551, p-value = 0.3341
alternative hypothesis: true mu is not equal to 0 

PS W przypadku Monte-Carlo, w którym próbkujemy tylko z rozkładu permutacji, wartości byłyby zdefiniowane w następujący sposób:$p$

$p_{\text{left}} = \frac{\sharp(T^{\star} \, <= \, \text{min}(T_{\text{emp}}, -T_{\text{emp}})) + 1}{\sharp(T^{\star}) \, + \, 1}$

$p_{\text{right}} = \frac{\sharp(T^{\star} \, >= \, \text{max}(T_{\text{emp}}, -T_{\text{emp}})) +1 }{\sharp(T^{\star}) \, + \, 1}$

$p_{\text{ts}} = \frac{\sharp(\text{abs}(T^{\star}) \, >= \, \text{abs}(T_{\text{emp}})) \, + \, 1 }{\sharp(T^{\star}) + 1}$

Powodem dodania jeszcze jednej intuicyjnej ekstremalnej permutacji jest to, że musimy również policzyć próbkę empiryczną. W przeciwnym razie permutacja wartość może wynosić 0, co nie może się zdarzyć w przypadku ciągłym (patrz tutaj , uwaga: niektóre teksty zalecają tę poprawkę, niektóre nie).$p$