Obliczanie błędu standardowego w oszacowaniu średniej ważonej

Załóżmy, że $w_1,w_2,\ldots,w_n$ i $x_1,x_2,...,x_n$ są każdy narysowany IID go w dystrybucji z niezależnie od . W są absolutnie pozytywne. Obserwujesz wszystkie , ale nie ; raczej obserwujesz . Jestem zainteresowany oszacowaniem nazwa $w_i$ $x_i$ $w_i$ $w_i$ $x_i$ $\sum_i x_i w_i$ $\operatorname{E}\left[x\right]$ podstawie tych informacji. Oczywiście estymator

\bar{x} = \frac{\sum_{i} w_{i} x_{i}}{\sum_{i} w_{i}}

$\bar{x} = \frac{\sum_i w_i x_i}{\sum_i w_i}$ jest bezstronny i można go obliczyć, biorąc pod uwagę dostępne informacje.

Jak mogę obliczyć standardowy błąd tego estymatora? W przypadku, w którym $x_i$ przyjmuje tylko wartości 0 i 1, naiwnie próbowałem

s e \approx \frac{\sqrt{\bar{x} (1 - \bar{x}) \sum_{i} w_{i}^{2}}}{\sum_{i} w_{i}},

$se \approx \frac{\sqrt{\bar{x}(1-\bar{x})\sum_i w_i^2}}{\sum_i w_i},$ w zasadzie nie zważając na zmienność

w_{i}

$w_i$ , ale okazało się, że to źle wykonywane na próbce o rozmiarach mniejszych niż około 250. (i to prawdopodobnie zależy od wariancji

w_{i}

$w_i$ ). Wydaje się, że może nie robić mieć wystarczającą ilość informacji, aby obliczyć „lepszy” błąd standardowy.

standard-error weighted-mean

— shabbychef
źródło

Odpowiedzi:

Ostatnio spotkałem ten sam problem. Oto co znalazłem:

W przeciwieństwie do prostej próby losowej o równej wadze, nie ma powszechnie przyjętej definicji błędu standardowego średniej ważonej . W dzisiejszych czasach byłoby łatwo wykonać bootstrap i uzyskać empiryczny rozkład średniej i na podstawie tej oceny błąd standardowy.

Co jeśli ktoś chciałby użyć formuły do tego oszacowania?

Głównym odniesieniem jest ten artykuł autorstwa Donalda F. Gatza i Luthera Smitha, w którym 3 estymatory oparte na formułach są porównywane z wynikami bootstrap. Najlepsze przybliżenie wyniku ładowania początkowego pochodzi z Cochran (1977):

$(SEM_w)^2={\dfrac{n}{(n-1)(\sum {P_i})^2}}[\sum (P_i X_i-\bar{P}\bar{X}_w)^2-2 \bar{X}_w \sum (P_i-\bar{P})(P_i X_i-\bar{P}\bar{X}_w)+\bar{X}^2_w \sum (P_i-\bar{P})^2]$

Poniżej znajduje się odpowiedni kod R pochodzący z tego wątku R listserve .

weighted.var.se <- function(x, w, na.rm=FALSE)
#  Computes the variance of a weighted mean following Cochran 1977 definition
{
  if (na.rm) { w <- w[i <- !is.na(x)]; x <- x[i] }
  n = length(w)
  xWbar = weighted.mean(x,w,na.rm=na.rm)
  wbar = mean(w)
  out = n/((n-1)*sum(w)^2)*(sum((w*x-wbar*xWbar)^2)-2*xWbar*sum((w-wbar)*(w*x-wbar*xWbar))+xWbar^2*sum((w-wbar)^2))
  return(out)
}

Mam nadzieję że to pomoże!

— Ming K.
źródło

To całkiem fajne, ale dla mojego problemu nawet nie obserwuję

, raczej obserwuję sumę

. Moje pytanie jest bardzo dziwne, ponieważ wiąże się z pewną asymetrią informacji (strona trzecia zgłasza sumę i może próbuje ukryć jakieś informacje).

P_{i} X_{i}

$P_iX_i$

\sum_{i} P_{i} X_{i}

$\sum_i P_iX_i$

— shabbychef,

Racja, masz rację, przepraszam, nie do końca zrozumiałem postawione pytanie. Załóżmy, że gotować problemu w dół do najprostszego przypadku, gdy wszyscy

są Bernoulliego RV. Zatem zasadniczo obserwujesz sumę losowego podzbioru

RV. Domyślam się, że nie ma tu zbyt wielu informacji do oszacowania. Co więc zrobiłeś dla swojego pierwotnego problemu?

w_{i}

$w_i$

n

$n$

— Ming K,

@ Ming-ChihKao ta formuła Cochran jest interesująca, ale jeśli zbudujesz przedział ufności na tym, gdy dane nie są normalne, nie ma spójnej interpretacji poprawnej? Jak poradziłbyś sobie z nietypowymi średnimi ważonymi przedziałami ufności? Ważone kwantyle?

— user3022875,

Myślę, że jest błąd w funkcji. Jeśli zastąpisz w=rep(1, length(x)), to weighted.var.se(rnorm(50), rep(1, 50))jest o 0.014. Myślę, że w formule brakuje a sum(w^2)w liczniku, ponieważ kiedy występuje P=1wariancja 1/(n*(n-1)) * sum((x-xbar)^2). Nie mogę sprawdzić cytowanego artykułu, ponieważ znajduje się on za zaporą, ale myślę, że to poprawka. Co dziwne, rozwiązanie Wikipedii (inne) ulega degeneracji, gdy wszystkie wagi są równe: en.wikipedia.org/wiki/… .

— Max Candocia,

Mogą one ogólnie działać lepiej: analyticalgroup.com/download/WEIGHTED_MEAN.pdf

— Max Candocia

Wariancja twojego oszacowania przy wynosi $w_i$ Ponieważ twoje oszacowanie jest obiektywne dla dowolnego, wariancja jego średniej warunkowej wynosi zero. Zatem wariancja twojego oszacowania wynosi

\frac{\sum w_{i}^{2} V a r (X)}{(\sum w_{i})^{2}} = V a r (X) \frac{\sum w_{i}^{2}}{(\sum w_{i})^{2}} .

$\frac{\sum w_i^2 Var(X)}{(\sum w_i)^2} = Var(X) \frac{\sum w_i^2 }{(\sum w_i)^2}.$

w_{i}

$w_i$

V a r (X) E (\frac{\sum w_{i}^{2}}{(\sum w_{i})^{2}})

$Var(X) \mathbb{E}\left(\frac{\sum w_i^2 }{(\sum w_i)^2}\right)$

X_{i}

$X_i$

V a r (X)

$Var(X)$

— Gość
źródło

x_{i}

$x_i$

x

$x$

\bar{x} (1 - \bar{x})

$\bar{x}(1-\bar{x})$