Regresja logistyczna dla danych z rozkładów Poissona

Z niektórych notatek dotyczących uczenia maszynowego mówiących o niektórych dyskryminujących metodach klasyfikacji, w szczególności regresji logistycznej, gdzie y jest etykietą klasy (0 lub 1), a x jest danymi, mówi się, że:

jeśli $x|y = 0 \sim \mathrm{Poisson}(λ_0)$ , a $x|y = 1 \sim \mathrm{Poisson}(λ_1)$ , wówczas $p(y|x)$ będzie logistyczne.

Dlaczego to prawda?

$Y$ składa się z dwóch możliwych wartości dla każdej wartości $X$ . Zgodnie z założeniami

$$\Pr(X=x|Y=0) = \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}$$

i

$$\Pr(X=x|Y=1) = \exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}.$$

Dlatego (jest to trywialny przypadek twierdzenia Bayesa) szansa, że uwarunkowana jest względnym prawdopodobieństwem tego ostatniego, a mianowicie$Y=1$$X=x$

$$\Pr(Y=1|X=x) = \frac{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}}{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!} + \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}}= \frac{1}{1 + \exp(\beta_0 + \beta_1 x)}$$

gdzie

$$\beta_0 = \lambda_1 - \lambda_0$$

i

$$\beta_1 = -\log(\lambda_1/\lambda_0).$$

To rzeczywiście jest standardowy model regresji logistycznej.