Czy każda niestacjonarna seria jest konwertowana na szereg stacjonarny poprzez różnicowanie

Czy każde niestacjonarne szeregi czasowe można przekształcić w stacjonarne szeregi czasowe, stosując różnicowanie? W jaki sposób decydujesz o kolejności różnicowania?

Czy różnisz się tylko interwałami 1,2 ... n i za każdym razem wykonujesz test jednostkowy pierwiastka stacjonarnego, aby sprawdzić, czy wynikowa seria jest stacjonarna?

time-series stationarity

— Zwycięzca
źródło

Odpowiedzi:

Nie. Jako kontrprzykład, niech $X$ będzie dowolną zmienną losową i niech szeregi czasowe będą miały wartość $\exp(t X)$ w czasie $t$ . Różnica $k^\text{th}$ w czasie $i=0, 1, 2, \ldots$ jest kombinacją liniową

Δ^{k} (i) = \sum_{j = 0}^{k} w_{j} \exp ((i + j) X) = \exp (i X) \sum_{j = 0}^{k} w_{j} \exp (j X) = \exp (i X) Δ^{k} (0) .

$\Delta^k(i) = \sum_{j=0}^k w_j \exp((i+j)X) = \exp(iX) \sum_{j=0}^k w_j \exp(jX) = \exp(iX) \Delta^k(0).$

dla współczynników (które można obliczyć, ale których wartości nie mają znaczenia dla tej dyskusji). O ile nie jest stały, lewa i prawa strona mają różne rozkłady, co dowodzi, że różnica nie jest stacjonarna. Dlatego żadna ilość różnic nie sprawi, że ten szereg czasowy będzie nieruchomy. $w_j$ $X$ $k^\text{th}$

— Whuber
źródło

Więc biorąc pod uwagę szereg czasowy (liniowy), skąd wiesz, czy można go kiedykolwiek różnicować, tworząc szereg stacjonarny?

— Victor

Wyjaśnij, co rozumiesz przez „liniowy” szereg czasowy. Zasadniczo proces dopasowania modelu AR sprowadza się do oszacowania stopnia różnicowania potrzebnego do unieruchomienia szeregu.

— whuber

Dzięki ... pomyśl o tym. Nie wiem ile nie wiem

— Victor

Wydaje się to być konsekwencją faktu, że funkcja wykładnicza jest jej własną pochodną, i to natychmiast sugeruje mi, że szereg czasowy można unieruchomić przez powtarzanie różnicowania wtedy i tylko wtedy, gdy „prawdziwa” funkcja, którą modeluje, jest wielomianem ( lub, odpowiednio, rozszerzenie serii Taylora jest skończone).

— zwolnienie

@zwol To dobry wgląd - i dlatego pierwszy raz przyszła mi na myśl wykładnicza wykładnia - ale to tylko część historii. Jeśli oczekiwanie jest wielomianową funkcją czasu, wystarczające różnicowanie sprawi, że szeregi czasowe pierwszego rzędu będą nieruchome : to znaczy pierwsze momenty rozkładów będą niezmienne w czasie. Jednak różnicowanie niekoniecznie spowoduje, że wyższe momenty lub momenty wielowymiarowe będą nieruchome.

— whuber

Odpowiedź Whucera jest poprawna; istnieje wiele szeregów czasowych, których nie można unieruchomić przez różnicowanie. Niezależnie od tego, że odpowiada to na twoje pytanie w ścisłym znaczeniu, warto również zauważyć, że w szerokiej klasie modeli ARIMA z białym szumem różnicowanie może przekształcić je w modele ARMA, a te ostatnie (asymptotycznie) stoją, gdy pozostałe korzenie charakterystyczny wielomian autoregresyjny znajduje się wewnątrz koła jednostki. Jeśli określisz odpowiedni rozkład początkowy dla obserwowalnej serii, który jest równy rozkładowi stacjonarnemu, otrzymujesz ściśle stacjonarny proces szeregów czasowych .

Zasadniczo więc nie, nie każdy szereg czasowy można przekształcić w szereg stacjonarny przez różnicowanie. Jeśli jednak ograniczysz swój zakres do szerokiej klasy modeli szeregów czasowych w klasie ARIMA z białym szumem i odpowiednio określonym rozkładem początkowym (i innymi pierwiastkami AR wewnątrz okręgu jednostki), to tak, można zastosować różnicowanie, aby uzyskać stacjonarność.

— Ben - Przywróć Monikę
źródło

+1 Prawdopodobnie w przypadku niektórych (wielu?) Aplikacji jest to bardziej przydatna odpowiedź niż czysto teoretyczna.

— whuber

Tak - myślę, że czasami chodzi o „Oto odpowiedź na twoje pytanie, a teraz jest odpowiedź na inne pytanie, które powinieneś również zadać”.

— Ben - Przywróć Monikę