Oblicz ręcznie przewidywania efektów losowych dla liniowego modelu mieszanego

Staram się ręcznie wyliczyć przewidywania efektu losowego z liniowego modelu mieszanego i używając notacji dostarczonej przez Wooda w uogólnionych modelach addytywnych: wprowadzenie do R (str. 294 / str. 307 z pdf), mylę się co do każdego parametru reprezentuje.

Poniżej znajduje się podsumowanie z Wood.

Zdefiniuj liniowy model mieszany

$$Y = X\beta + Zb + \epsilon$$

gdzie b N (0, ) i N (0, )ψ ϵ ∼ σ $\sim$$\psi$$\epsilon \sim$$\sigma^{2}$

Jeśli b i y są zmiennymi losowymi ze wspólnym rozkładem normalnym

$$\begin{align*} \begin{bmatrix} b\\ y \end{bmatrix} &\sim N \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ X\beta \end{bmatrix}\!\!,& \begin{bmatrix} \psi & \Sigma_{by} \\ \Sigma_{yb}& \Sigma_{\theta}\sigma^{2} \end{bmatrix} \end{bmatrix}\\ \end{align*}$$

Prognozy RE są obliczane przez

$$\begin{align*} E[b \mid y] &= \Sigma_{by} \Sigma_{yy}^{-1} (y - x\beta)\\ &= \Sigma_{by}\Sigma_{\theta}^{-1}(y - x \beta) / \sigma^{2}\\ &= \psi z^{T}\Sigma_{\theta}^{-1} (y - x \beta) / \sigma^{2} \end{align*}$$

gdzie$\Sigma_{\theta} = Z\psi Z^{T} /\sigma^{2} + I_{n}$

Używając przykładowego modelu przechwytywania losowego z lme4pakietu R, otrzymuję dane wyjściowe

library(lme4)
m = lmer(angle ~ temp + (1 | replicate), data=cake)
summary(m)

% Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
% Formula: angle ~ temp + (1 | replicate)
%    Data: cake
% 
% REML criterion at convergence: 1671.7
% 
% Scaled residuals: 
%      Min       1Q   Median       3Q      Max 
% -2.83605 -0.56741 -0.02306  0.54519  2.95841 
% 
% Random effects:
%  Groups    Name        Variance Std.Dev.
%  replicate (Intercept) 39.19    6.260   
%  Residual              23.51    4.849   
% Number of obs: 270, groups:  replicate, 15
% 
% Fixed effects:
%             Estimate Std. Error t value
% (Intercept)  0.51587    3.82650   0.135
% temp         0.15803    0.01728   9.146
% 
% Correlation of Fixed Effects:
%      (Intr)
% temp -0.903

Na tej podstawie sądzę, że = 23,51, można oszacować na podstawie i z kwadratu reszt na poziomie populacji.$\psi$$(y-X\beta)$cake$angle - predict(m, re.form=NA)sigma

th = 23.51
zt = getME(m, "Zt") 
res = cake$angle - predict(m, re.form=NA)
sig = sum(res^2) / (length(res)-1)

Pomnożenie ich razem daje

th * zt %*% res / sig
         [,1]
1  103.524878
2   94.532914
3   33.934892
4    8.131864
---

co nie jest poprawne w porównaniu do

> ranef(m)
$replicate
   (Intercept)
1   14.2365633
2   13.0000038
3    4.6666680
4    1.1182799
---

Dlaczego?

Dwa problemy (przyznaję, że dostrzeżenie drugiego zajęło mi około 40 minut):

1. Nie wolno obliczać z kwadratem reszt, jest on szacowany przez REML as i nie ma gwarancji, że BLUP będą miały tę samą wariancję.$\sigma^2$23.51

   sig <- 23.51

   A to nie jest ! Który ocenia się jako$\psi$39.19

   psi <- 39.19

2. Pozostałości nie są uzyskiwane za pomocą, cake$angle - predict(m, re.form=NA)ale za pomocą residuals(m).

Składając to razem:

> psi/sig * zt %*% residuals(m)
15 x 1 Matrix of class "dgeMatrix"
         [,1]
1  14.2388572
2  13.0020985
3   4.6674200
4   1.1184601
5   0.2581062
6  -3.2908537
7  -4.6351567
8  -4.5813846
9  -4.6351567
10 -3.1833095
11 -2.1616392
12 -1.1399689
13 -0.2258429
14 -4.0974355
15 -5.3341942

który jest podobny do ranef(m).

Naprawdę nie rozumiem, co predictoblicza.

---

$\hat\epsilon$$PY$$P = V^{-1} - V^{-1} X \left(X' V^{-1} X\right)^{-1} X' V^{-1}$

$$\hat\epsilon = \sigma^2 PY$$ $$\hat b = \psi Z^t PY.$$

$\hat b = \psi / \sigma^2 Z^t \hat\epsilon$