Co to jest próbka zmiennej losowej?

Zmienna losowa jest definiowana jako funkcja mierzalna z jednej -algebra z bazową miarą do innej -algebra . $X$ $\sigma$ $(\Omega_1, \mathcal F_1)$ $P$ $\sigma$ $(\Omega_2, \mathcal F_2)$

Jak mówimy o próbce tej losowej zmiennej? Czy traktujemy to jako element z ? Lub jako taka sama mierzalna funkcja jak ? $X^n$ $\Omega_2$ $X$

Gdzie mogę o tym przeczytać więcej?

Przykład:

W estymacji Monte Carlo dowodzimy bezstronności estymatora, biorąc pod uwagę próbki za funkcje. Jeśli oczekiwanie zmiennej losowej jest zdefiniowane jako $(X^n)_{n = 1}^N$ $X$

\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d P (ω_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$

i zakładając, że są funkcjami, a , możemy postępować w następujący sposób: $X^n$ $X^n = X$

\begin{aligned} E [\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} f (X^{n})] & = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} E [f (X^{n})] \\ = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} E [f (X)] \\ = E [f (X)] . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E\left[\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N f(X^n)\right] &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X^n)] \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X)] \\ &= \mathbb E[f(X)]. \end{align}$

Gdyby był tylko elementem z , nie moglibyśmy napisać ostatniego zestawu równań. $X^n$ $\Omega_2$

sampling random-variable simulation

— sk1ll3r
źródło

w przykładzie, by wszyscy mają taki sam rozkład jak opisałeś, stąd ich expecation jest taka sama, jak .

X^{n}

$X^n$

X

$X$

X

$X$

— bdeonovic

Odpowiedzi:

Próbkę jest mierzalną funkcję z do . Realizacja tej próbki jest wartością pobraną przez funkcję at , . $(X^1,\ldots,X^N)$ $\Omega_1$ $\Omega_2^N$ $\omega\in\Omega_1$ $(x^1,\ldots,x^N)=(X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega))$

Kiedy stwierdzam

zakładając, że są funkcjami, a $X^n$ $X^n=X$

Funkcje są różnymi funkcjami, co oznacza, że obrazy mogą być różne dla danego . Gdy próbka jest identyczna (niezależna i identycznie rozmieszczona), funkcje są różne z dwiema kolejnymi właściwościami $X^n$ $X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega)$ $\omega$ $X^n$

identyczny rozkład, co oznacza, że dla wszystkich mierzalnych zbiorów in ; $\mathbb{P}(X^1\in A)=\cdots=\mathbb{P}(X^N\in A)$ $A$ $\mathcal{F}_2$
niezależność, co oznacza, że dla wszystkich mierzalnych zbiorów w $\mathbb{P}(X^1\in A^1,\ldots,X^N\in A^N)=\mathbb{P}(X^1\in A^1)\cdots\mathbb{P}(X^N\in A^N)$ $A^1,\ldots,A^N$ $\mathcal{F}_2$

Twoja definicja

$\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d ω_{1} \end{aligned}$ $\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm d\omega_1 \end{align}$

jest niepoprawny: tak powinno być

\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d P (ω_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$

— Xi'an
źródło

Próbkę można pobrać z populacji , a nie ze zmiennej losowej. „Próbka zmiennych losowych” to uproszczony sposób stwierdzenia, że mamy próbkę pobraną z populacji, która zakłada, że jest identycznie rozmieszczonymi zmiennymi losowymi. Taka próbka zachowuje się jak losowych zmiennych. Jest niejednoznaczny, ponieważ łączy w sobie terminologię stosowaną w prawdopodobieństwie i statystyce. To samo dotyczy symulacji, w której próbki są pobierane ze wspólnego rozkładu . W obu przypadkach próbką są dane $n$ $n$ $n$ ty masz. Próbki są uważane za zmienne losowe, ponieważ losowe procesy prowadzą do ich rysowania. Są identycznie dystrybuowane, ponieważ pochodzą ze wspólnej dystrybucji. Do czynienia z próbkami mamy statystyki, podczas gdy statystyki używają abstrakcyjnego, matematycznego opisu problemów związanych z teorią prawdopodobieństwa, więc terminologia jest mieszana. Zmienne losowe to funkcje przypisujące prawdopodobieństwa do zdarzeń, które mogą wystąpić w twoich próbkach.

— Tim
źródło

Co w kontekście symulacji Monte Carlo. Tam próbki nie pochodzą z populacji. Pochodzą z generatorów liczb losowych.

— sk1ll3r

@ sk1ll3r nadal jest próbką, zaczerpniętą ze wspólnej dystrybucji.

— Tim

Czy potraktowałbym to jako element z lub funkcję z do ?

Ω_{2}

$\Omega_2$

Ω_{1}

$\Omega_1$

Ω_{2}

$\Omega_2$

— sk1ll3r

@ sk1ll3r, jak powiedział bdeonovic, to zwykła losowa zmienna, nic więcej niż to.

— Tim