Czy AR (1) jest procesem Markowa?

13

Czy proces AR (1), taki jak jest procesem Markowa?yt=ρyt−1+εt

Jeśli tak, to VAR (1) jest wektorową wersją procesu Markowa?

time-series 
— Latająca świnia
źródło

Odpowiedzi:

18

Zachowuje się następujący wynik: Jeśli są niezależnymi wartościami przyjmowanymi w E i f 1 , f 2 , … są funkcjami f n : F × E → F, a następnie X n zdefiniowane rekurencyjnie jakoϵ1,ϵ2,…Ef1,f2,…fn:F×E→FXn

Xn=fn(Xn−1,ϵn),X0=x0∈F

proces w F jest procesem Markowa rozpoczynającym się od x 0 . Proces jest jednorodny czasowo, jeśli ϵ są identycznie rozmieszczone, a wszystkie funkcje F są identyczne.(Xn)n≥0Fx0ϵf

Zarówno AR (1), jak i VAR (1) są procesami podanymi w tej formie z

fn(x,ϵ)=ρx+ϵ.

W ten sposób jednorodne proces Markowa jeśli „S są IIDϵ

Technicznie, przestrzenie i F potrzebują mierzalnej struktury, a funkcje F muszą być mierzalne. Interesujące jest to, że wynik odwrotny ma miejsce, jeśli przestrzeń F jest przestrzenią Borela . Dla dowolnego sposobu Markowa ( X n ) n ≥ 0 w przestrzeni Borel F są IID jednolity zmiennymi losowymi ε 1 , ε 2 , ... w [ 0 , 1 ] i funkcji f n : C xEFfF(Xn)n≥0Fϵ1,ϵ2,…[0,1] taki, że z prawdopodobieństwem jeden X n = f n ( X n - 1 , ϵ n ) . Zobacz propozycję 8.6 w Kallenberg,Podstawy nowoczesnego prawdopodobieństwa.fn:F×[0,1]→F

Xn=fn(Xn−1,ϵn).
— NRH
źródło
6

Proces jest procesem AR (1), jeżeliXt

Xt=c+φXt−1+εt

gdzie błędy są . Proces ma właściwość Markowa, jeśliεt

P(Xt=xt|entire history of the process)=P(Xt=xt|Xt−1=xt−1)

Z pierwszego równania rozkład prawdopodobieństwa wyraźnie zależy tylko od X t - 1 , więc tak, proces AR (1) jest procesem Markowa.XtXt−1

— Makro
źródło
3
-1, ten sam powód, co dla innego plakatu. Odpowiedź sugeruje, że łatwo jest sprawdzić cytowaną właściwość Markowa. Nie jest, chyba że wykazano inaczej. Należy również zauważyć, że procesy AR (1) można zdefiniować, gdy jest nie-id, więc należy to również rozwiązać. εt
— mpiktas
1
Głównym problemem jest to, że możemy łatwo napisać a wtedy ostatnie zdanie oznaczałoby, że P ( X t = x t | cała historia ) = P ( X t = x t | X t - 2 = x t - 2 )Xt=c+ϕc+ϕ2Xt−2+ϕεt−1+εtP(Xt=xt|entire history)=P(Xt=xt|Xt−2=xt−2).
— mpiktas
Cóż, procesy markowa zależą od jeśli nie uwarunkowałeś także X t - 1 . Przypuszczam bardziej formalny argument, by zakładać, że jesteś klimatyzację kolejno (czyli nie obejmują X t - 2 , chyba że już uwarunkowane X t - 1 ). Xt−2Xt−1Xt−2Xt−1
— Makro
Xt−2Xt−1εt−1XtXt−2Xt−1, wyraźnie nie. (ps Użyłem standardowej definicji procesu AR (1) według książki o szeregach czasowych Shumwaya i Stoeffera)
— Macro
Uwaga: Nie twierdzę, że odpowiedź jest nieprawidłowa. Po prostu dopracowuję szczegóły, tzn. Że druga równość jest intuicyjnie widoczna, ale jeśli chcesz to formalnie udowodnić, nie jest to takie łatwe, IMHO.
— mpiktas
2

Co to jest proces Markowa? (luźno mówiąc) Proces stochastyczny jest procesem Markowa pierwszego rzędu, jeśli warunek

P[X(t)=x(t)|X(0)=x(0),...,X(t−1)=x(t−1)]=P[X(t)=x(t)|X(t−1)=x(t−1)]

AR(1)

To samo dotyczy VAR (1), który jest wielowymiarowym procesem Markowa pierwszego rzędu.

— Tomas
źródło
εt
Myślałem, że proces Markowa odnosi się do ciągłego przypadku. Zwykłe szeregi czasowe AR są dyskretne, więc powinny odpowiadać Łańcuchowi Markowa zamiast Procesu Markowa.
— joint_p
XtXt−1,Xt−2,...
@Joint_p, terminologia nie jest całkowicie spójna w literaturze. Historycznie, jak widzę, użycie „łańcucha” zamiast „procesu” było zwykle odniesieniem do przestrzeni stanu procesu, która jest dyskretna, ale czasami także dyskretna. Dzisiaj wielu używa „łańcucha” w odniesieniu do dyskretnego czasu, ale dopuszcza ogólną przestrzeń stanu, jak w Markov Chain Monte Carlo. Jednak użycie „procesu” również jest poprawne.
— NRH
1
tt−1,t−2,...t+1t+1
Korzystając z naszej strony potwierdzasz, że przeczytałeś(-aś) i rozumiesz nasze zasady używania plików cookie i zasady ochrony prywatności.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.