Definicja naturalnych splajnów sześciennych do regresji

17

Uczę się o splajnach z książki „Elementy statystycznego uczenia się eksploracji danych, wnioskowania i prognozowania” Hastie i in. Na stronie 145 stwierdziłem, że naturalne splajny sześcienne są liniowe poza sękami granicznymi. W jest węzłów, a o takim podano w książce. $K$ $\xi_1, \xi_2, ... \xi_K$

Pytanie 1: W jaki sposób uwolniono 4 stopnie swobody? Nie rozumiem tej części.

Pytanie 2 : W definicji gdy a następnie . Co autor próbuje zrobić w tej formule? W jaki sposób pomaga to upewnić się, że splajny są liniowe poza sękami granicznymi? $d_k(X)$ $k=K$ $d_K(X) = \frac 0 0$

— Durin
źródło

17

Zacznijmy od rozważenia zwykłych splajnów sześciennych. Są sześcienne między każdą parą węzłów i sześcienne poza granicami węzłów. Zaczynamy od 4df dla pierwszego sześciennego (na lewo od pierwszego węzła granicznego), a każdy węzeł dodaje jeden nowy parametr (ponieważ ciągłość splajnów sześciennych i pochodnych i drugich pochodnych dodaje trzy ograniczenia, pozostawiając jeden wolny parametr), co daje w sumie parametry dla węzłów $K+4$ $K$

Naturalny splajn sześcienny jest liniowy na obu końcach. Ogranicza to sześciennej i kwadratowe elementy tam 0 każde zmniejszenie df o 1. To jest 2 DF na każdym z dwóch końców łuku, zmniejszając do . $K+4$ $K$

Wyobraź sobie, że decydujesz się wydać pewną całkowitą liczbę stopni swobody ( powiedzmy ) na oszacowanie krzywej nieparametrycznej. Ponieważ nałożenie naturalnego splajnu wykorzystuje 4 mniej stopni swobody niż zwykły splajn sześcienny (dla tej samej liczby węzłów), przy tych parametrach można uzyskać 4 dodatkowe węzły (a więc 4 dodatkowe parametry) do modelowania krzywej między węzłami brzegowymi . $p$ $p$
Zauważ, że definicja dla jest dla (ponieważ we wszystkich jest funkcji bazowych). Zatem ostatnia funkcja podstawowa na tej liście, . Zatem najwyższe potrzebne do definicji jest dla . (To znaczy, nie musimy próbować wymyślić, co może zrobić , ponieważ go nie używamy.) $N_{k+2}$ $k=1,2,...,K-2$ $K$ $N_{K}=d_{K-2}-d_{K-1}$ $k$ $d_k$ $k=K-1$ $d_K$

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

4

$2$ $\xi_1, \xi_2$ $]-\infty, \xi_1[$ $]\xi_1, \xi_2[$ $]\xi_2, +\infty[$ $|I|=3$ $|I|-1=2$ sęki).

Dla (wspólnych) splajnów sześciennych

$4|I|=12$

1 (X < ξ_{1}); 1 (X < ξ_{1}) X; 1 (X < ξ_{1}) X^{2}; 1 (X < ξ_{1}) X^{3};

$\mathbf{1}(X < \xi_1)~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X^2~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X^3~~;$

1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}); 1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}) X; 1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}) X^{2}; 1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}) X^{3};

$\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^3~~;$

1 (ξ_{2} \leq X); 1 (ξ_{2} \leq X) X; 1 (ξ_{2} \leq X) X^{2}; 1 (ξ_{2} \leq X) X^{3} .

$\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X^3.$

$\mathcal{C}^r$ $r=2$ $(r+1)\times(|I|-1) = 3\times(|I|-1) = 6$

$12-6=6$

Do naturalnych wypustów sześciennych

„ Naturalne splajny sześcienne dodają dodatkowe ograniczenia, mianowicie ta funkcja jest liniowa poza sęki brzegowe”.

$4|I|-4=12-4$ $4$ $2$

1 (X < ξ_{1}); 1 (X < ξ_{1}) X;

$\mathbf{1}(X < \xi_1)~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X~~;~~$

1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}); 1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}) X; 1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}) X^{2}; 1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}) X^{3};

$\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^3~~;$

1 (ξ_{2} \leq X); 1 (ξ_{2} \leq X) X .

$\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X.$

$3\times(|I|-1) = 6$

$8-6=2$

— ahstat
źródło