Wygląda na to, że szukasz odpowiedzi z predykcyjnego punktu widzenia, dlatego przygotowałem krótką prezentację dwóch podejść w R
- Podział zmiennej na czynniki równej wielkości.
- Naturalne splajny sześcienne.
Poniżej podałem kod funkcji, która automatycznie porówna dwie metody dla dowolnej funkcji prawdziwego sygnału
test_cuts_vs_splines <- function(signal, N, noise,
range=c(0, 1),
max_parameters=50,
seed=154)
Ta funkcja utworzy hałaśliwe zestawy danych treningowych i testowych na podstawie danego sygnału, a następnie dopasuje szereg regresji liniowych do danych treningowych dwóch typów
cutsModel obejmuje binned predykcyjnych, utworzonych przez segmenty zakres danych w równych rozmiarach półotwartą odstępach czasu, a następnie tworząc predykcyjnych binarną wskazującą, do którego interwał każdy punkt należący szkolenia.splinesModel obejmuje naturalną sześcienny Podstawa wielowypustowy rozprężania z węzłów równomiernie rozmieszczone na całym obszarze predyktora.
Argumenty są
signal: Funkcja jednej zmiennej reprezentująca prawdę, którą należy oszacować.N: Liczba próbek, które należy uwzględnić zarówno w danych szkoleniowych, jak i testowych.noise: Mnóstwo losowego hałasu gaussowskiego w celu zwiększenia sygnału treningowego i testowego.range: Zakres danych szkoleniowych i testowych x, dane są generowane jednolicie w tym zakresie.max_paramters: Maksymalna liczba parametrów do oszacowania w modelu. Jest to zarówno maksymalna liczba segmentów w cutsmodelu, jak i maksymalna liczba węzłów w splinesmodelu.
Zauważ, że liczba parametrów oszacowana w splinesmodelu jest taka sama jak liczba węzłów, więc oba modele są dość porównywane.
Obiekt zwrotny z funkcji ma kilka składników
signal_plot: Wykres funkcji sygnału.data_plot: Wykres punktowy danych treningowych i testowych.errors_comparison_plot: Wykres pokazujący ewolucję sumy kwadratowego poziomu błędu dla obu modeli w zakresie liczby ustalonych parametrów.
Pokażę z dwiema funkcjami sygnału. Pierwszą jest fala sinusoidalna z nakładającym się rosnącym trendem liniowym
true_signal_sin <- function(x) {
x + 1.5*sin(3*2*pi*x)
}
obj <- test_cuts_vs_splines(true_signal_sin, 250, 1)
Oto jak ewoluują poziomy błędów
Drugi przykład to szalona funkcja, którą trzymam tylko dla tego rodzaju rzeczy, wykreśl ją i zobacz
true_signal_weird <- function(x) {
x*x*x*(x-1) + 2*(1/(1+exp(-.5*(x-.5)))) - 3.5*(x > .2)*(x < .5)*(x - .2)*(x - .5)
}
obj <- test_cuts_vs_splines(true_signal_weird, 250, .05)
A dla zabawy jest to nudna funkcja liniowa
obj <- test_cuts_vs_splines(function(x) {x}, 250, .2)
Możesz to zobaczyć:
- Splajny dają ogólnie lepszą ogólną wydajność testu, gdy złożoność modelu jest odpowiednio dostrojona dla obu.
- Splajny zapewniają optymalną wydajność testu przy znacznie mniejszej liczbie szacowanych parametrów .
- Ogólnie wydajność splajnów jest znacznie bardziej stabilna, ponieważ liczba szacowanych parametrów jest zróżnicowana.
Dlatego splajny należy zawsze wybierać z predykcyjnego punktu widzenia.
Kod
Oto kod, którego użyłem do stworzenia tych porównań. Założyłem to wszystko w funkcję, abyś mógł wypróbować to z własnymi funkcjami sygnałowymi. Konieczne będzie zaimportowanie bibliotek ggplot2i splinesR.
test_cuts_vs_splines <- function(signal, N, noise,
range=c(0, 1),
max_parameters=50,
seed=154) {
if(max_parameters < 8) {
stop("Please pass max_parameters >= 8, otherwise the plots look kinda bad.")
}
out_obj <- list()
set.seed(seed)
x_train <- runif(N, range[1], range[2])
x_test <- runif(N, range[1], range[2])
y_train <- signal(x_train) + rnorm(N, 0, noise)
y_test <- signal(x_test) + rnorm(N, 0, noise)
# A plot of the true signals
df <- data.frame(
x = seq(range[1], range[2], length.out = 100)
)
df$y <- signal(df$x)
out_obj$signal_plot <- ggplot(data = df) +
geom_line(aes(x = x, y = y)) +
labs(title = "True Signal")
# A plot of the training and testing data
df <- data.frame(
x = c(x_train, x_test),
y = c(y_train, y_test),
id = c(rep("train", N), rep("test", N))
)
out_obj$data_plot <- ggplot(data = df) +
geom_point(aes(x=x, y=y)) +
facet_wrap(~ id) +
labs(title = "Training and Testing Data")
#----- lm with various groupings -------------
models_with_groupings <- list()
train_errors_cuts <- rep(NULL, length(models_with_groupings))
test_errors_cuts <- rep(NULL, length(models_with_groupings))
for (n_groups in 3:max_parameters) {
cut_points <- seq(range[1], range[2], length.out = n_groups + 1)
x_train_factor <- cut(x_train, cut_points)
factor_train_data <- data.frame(x = x_train_factor, y = y_train)
models_with_groupings[[n_groups]] <- lm(y ~ x, data = factor_train_data)
# Training error rate
train_preds <- predict(models_with_groupings[[n_groups]], factor_train_data)
soses <- (1/N) * sum( (y_train - train_preds)**2)
train_errors_cuts[n_groups - 2] <- soses
# Testing error rate
x_test_factor <- cut(x_test, cut_points)
factor_test_data <- data.frame(x = x_test_factor, y = y_test)
test_preds <- predict(models_with_groupings[[n_groups]], factor_test_data)
soses <- (1/N) * sum( (y_test - test_preds)**2)
test_errors_cuts[n_groups - 2] <- soses
}
# We are overfitting
error_df_cuts <- data.frame(
x = rep(3:max_parameters, 2),
e = c(train_errors_cuts, test_errors_cuts),
id = c(rep("train", length(train_errors_cuts)),
rep("test", length(test_errors_cuts))),
type = "cuts"
)
out_obj$errors_cuts_plot <- ggplot(data = error_df_cuts) +
geom_line(aes(x = x, y = e)) +
facet_wrap(~ id) +
labs(title = "Error Rates with Grouping Transformations",
x = ("Number of Estimated Parameters"),
y = ("Average Squared Error"))
#----- lm with natural splines -------------
models_with_splines <- list()
train_errors_splines <- rep(NULL, length(models_with_groupings))
test_errors_splines <- rep(NULL, length(models_with_groupings))
for (deg_freedom in 3:max_parameters) {
knots <- seq(range[1], range[2], length.out = deg_freedom + 1)[2:deg_freedom]
train_data <- data.frame(x = x_train, y = y_train)
models_with_splines[[deg_freedom]] <- lm(y ~ ns(x, knots=knots), data = train_data)
# Training error rate
train_preds <- predict(models_with_splines[[deg_freedom]], train_data)
soses <- (1/N) * sum( (y_train - train_preds)**2)
train_errors_splines[deg_freedom - 2] <- soses
# Testing error rate
test_data <- data.frame(x = x_test, y = y_test)
test_preds <- predict(models_with_splines[[deg_freedom]], test_data)
soses <- (1/N) * sum( (y_test - test_preds)**2)
test_errors_splines[deg_freedom - 2] <- soses
}
error_df_splines <- data.frame(
x = rep(3:max_parameters, 2),
e = c(train_errors_splines, test_errors_splines),
id = c(rep("train", length(train_errors_splines)),
rep("test", length(test_errors_splines))),
type = "splines"
)
out_obj$errors_splines_plot <- ggplot(data = error_df_splines) +
geom_line(aes(x = x, y = e)) +
facet_wrap(~ id) +
labs(title = "Error Rates with Natural Cubic Spline Transformations",
x = ("Number of Estimated Parameters"),
y = ("Average Squared Error"))
error_df <- rbind(error_df_cuts, error_df_splines)
out_obj$error_df <- error_df
# The training error for the first cut model is always an outlier, and
# messes up the y range of the plots.
y_lower_bound <- min(c(train_errors_cuts, train_errors_splines))
y_upper_bound = train_errors_cuts[2]
out_obj$errors_comparison_plot <- ggplot(data = error_df) +
geom_line(aes(x = x, y = e)) +
facet_wrap(~ id*type) +
scale_y_continuous(limits = c(y_lower_bound, y_upper_bound)) +
labs(
title = ("Binning vs. Natural Splines"),
x = ("Number of Estimated Parameters"),
y = ("Average Squared Error"))
out_obj
}