Intuicja przy dystrybucji prawa energetycznego

16

Wiem, że pdf rozkładu prawa potęgi to

p (x) = \frac{α - 1}{x_{min}} {(\frac{x}{x_{min}})}^{- α}

$p(x) = \frac{\alpha-1}{x_{\text{min}}} \left(\frac{x}{x_{\text{min}}} \right)^{-\alpha}$

Ale co to intuicyjnie oznacza, jeśli na przykład ceny akcji są zgodne z podziałem prawa energetycznego? Czy to oznacza, że straty mogą być bardzo wysokie, ale rzadkie?

distributions power-law

— Thomas James
źródło

5

F (x) = 1 - {(\frac{x}{x_{min}})}^{1 - α}

$F(x) = 1 - \left( \dfrac{x}{x_\min} \right)^{1-\alpha}$

x

$x$

(x / x_{min})^{1 - α}

$(x/x_\min)^{1-\alpha}$

1

$1$

α

$\alpha$

10^{u} x_{min}

$10^u x_\min$

0.9

$0.9$

α

$\alpha$

1 - \log_{10} (0.9) / u

$1-\log_{10}(0.9)/u$

u

$u$

10^{u} x_{min}

$10^u x_\min$ Renderowanie krzywej R powyższej funkcji

— Xi'an
źródło

2

To nie jest źródłem recenzowane, ale lubię tę notatkę przez CMU statystykę profesora Cosma Shalizi . Jest także autorem tego artykułu na temat szacowania takich rzeczy na podstawie danych.

— tak
źródło

Dlatego zadałem moje pytanie. Przeczytałem już ten artykuł. Bez równań, co to znaczy, że coś jest zgodne z rozkładem prawa władzy?

— Thomas James

2

Witaj na stronie, Thomas! Możesz rozważyć edycję swojego pytania, aby wskazać, co wzbudziło Twoje zainteresowanie na początku. Ogólnie im więcej informacji, tym lepiej. Na przykład stwierdzenie, że przeczytałeś notatkę prof. Shalizi i sprawiło, że zastanawiałeś się nad Xem, który nie tylko wyklucza odpowiedzi, które by to dokładnie sugerowały, ale także wyraźniej pokazuje twój tok myślenia, który ma tendencję do uzyskiwania lepszych odpowiedzi. :) (Na przykład czy czytałeś artykuł przeglądowy M. Mitzenmachera w Matematyki Internetowej ?)

— kardynał

2

Artykuł Prawa energetyczne w ekonomii i finansach może pomóc w uzyskaniu intuicji na temat praw energetycznych. Xavier Gabaix twierdzi, że prawo władzy (PL) to forma przyjęta przez wiele zaskakujących empirycznych prawidłowości w ekonomii i finansach. Jego przegląd bada dobrze udokumentowane empiryczne PL dotyczące dochodów i zamożności, wielkości miast i firm, zysków z giełdy, wolumenu obrotu, handlu międzynarodowego i wynagrodzenia kadry kierowniczej.

Intuicja dla dystrybucji Pareto

Pareto (wikipedia) pierwotnie opisywał podział bogactwa między jednostki: duża część bogactwa każdego społeczeństwa jest własnością niewielkiego odsetka ludzi. Jego idea wyrażona prościej jako zasada Pareto lub „reguła 80-20” mówi, że 20% populacji kontroluje 80% bogactwa.

Właściwy ogon podziału dochodów i majątku często przypomina Pareto

Jeśli rozkładem dochodów jest Pareto, można wyprowadzić proste wyrażenia dla udziału 1% lub 10%. Następnie udział najwyższego kwartylowego udziału w całkowitych dochodach można uzyskać jako:

{(\frac{q}{100})}^{\frac{α - 1}{α}},

$\left(\frac{q}{100}\right)^{\frac{\alpha-1}{\alpha}},$

gdzie jest parametrem kształtu. Wyrażenie to implikuje, że niższe odpowiada grubszemu ogonowi rozkładu Pareto, a zatem większemu udziałowi w całkowitym dochodzie zajmowanym przez osoby o wyższych percentylach rozkładu. Na przykład przy najwyższy 1% udział wynosi 10%, a przy 4%. $\alpha \geq 1$ $\alpha$ $\alpha=2$ $\alpha=3$

— Emeryville
źródło

2

$X \sim \text{Power}(x_\min, \alpha)$ $Y = \ln(x/x_\min) \sim \text{Exp}(\alpha-1)$ $X$

$Y$ $X$

\begin{aligned} α - 1 = λ_{Y} (y) & = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{1}{ϵ} \cdot P. (y ⩽ Y ⩽ y + ϵ | Y ⩾ y) \\ = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{1}{ϵ} \cdot P. (\ln (x) ⩽ \ln (X) ⩽ \ln (x) + ϵ | X ⩾ x) \\ = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{P. (x ⩽ X ⩽ x {mi}^{ϵ} | X ⩾ x)}{ϵ} \\ = lim_{δ ↓ 1} \frac{P. (x ⩽ X ⩽ δ x | X ⩾ x)}{\ln δ} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha -1 = \lambda_Y(y) &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(y \leqslant Y \leqslant y + \epsilon| Y \geqslant y) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(\ln(x) \leqslant \ln(X) \leqslant \ln(x) + \epsilon| X \geqslant x) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant x e^\epsilon | X \geqslant x)}{\epsilon} \\[6pt] &= \lim_{\delta \downarrow 1} \frac{ \mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x)}{\ln \delta}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx (\alpha-1) \ln \delta$ $\ln \delta$ $x$ $x, x' > x_\min$ $\ln \delta$

P. (x ⩽ X ⩽ δ x | X ⩾ x) \approx P. (x^{'} ⩽ X ⩽ δ x^{'} | X ⩾ x^{'}) .

$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx \mathbb{P}(x' \leqslant X \leqslant \delta x' | X \geqslant x').$

$^\dagger$

— Przywróć Monikę
źródło