Czy współczynnik korelacji próby jest obiektywnym estymatorem współczynnika korelacji populacji?

Czy to prawda, że $R_{X,Y}$ jest obiektywnym estymatorem dla $\rho_{X,Y}$ ? Czyli

E [R_{X, Y}] = ρ_{X, Y} ?

$\mathbf{E}\left[R_{X,Y}\right]=\rho_{X,Y}?$

Jeśli nie, jaki jest obiektywny estymator dla ? (Być może używany jest standardowy estymator bezstronny? Ponadto, czy jest on analogiczny do wariancji bezstronnej próby, gdzie po prostu dokonujemy prostej korekty pomnożenia wariancji próbnej stronniczości przez $\rho_{X,Y}$ ?) $\frac{n}{n-1}$

Współczynnik korelacji populacji jest zdefiniowany jako podczas gdy współczynnik korelacji próbki jest zdefiniowany jako

ρ_{X, Y} = \frac{E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})]}{\sqrt{E [{(X - μ_{X})}^{2}]} \sqrt{E [{(Y - μ_{Y})}^{2}]}},

$\rho_{X,Y}=\frac{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right]}{\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)^{2}\right]}\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(Y-\mu_{Y}\right)^{2}\right]}},$

R_{X, Y} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(Y_{i} - \bar{Y})}^{2}}} .

$R_{X,Y}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}}.$

correlation

— Kenny LJ
źródło

(Nieco podobne) pytanie o estymatory

ρ

$\rho$

— ttnphns

Pytanie „czym jest obiektywny estymator” zakłada, że istnieje jeden i że jest tylko jeden. A priori wydaje się, że nie ma powodu, aby tak sądzić.

$\qquad$

— Michael Hardy

@MichaelHardy: Naprawiłem to. Dzięki za wskazanie.

— Kenny LJ,

Właśnie natknąłem się na ten wątek i myślę, że może to być interesująca lektura sciencedirect.com/science/article/pii/S0167715298000352 (sam jeszcze tego nie przeczytałem tbh)

— martwy

estymator obiektywny minimalnej wariancji: projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706717

— Sextus Empiricus

To nie jest łatwe pytanie, ale niektóre wyrażenia są dostępne. Jeśli mówisz w szczególności o rozkładzie normalnym, odpowiedź brzmi NIE ! Mamy

E \hat{ρ} = ρ [1 - \frac{(1 - ρ^{2})}{2 n} + O (\frac{1}{n^{2}})]

$\mathbb{E} \widehat{\rho} = \rho \left[1 - \frac{\left(1-\rho^2 \right)}{2n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right]$

$n^{-2}$

$\rho = 0$ $|\rho| = 1$ $\frac{1}{n}$

$\mathbb{E} \widehat{\rho} \to \rho$

— JohnK
źródło

W powyższym wyrażeniu może istnieć nieskończenie wiele terminów, ale „terminami nieskończonymi” byłyby pewne terminy, z których każdy jest nieskończony.

$\qquad$

— Michael Hardy

| ρ | = 1

$|\rho| = 1$

| r | \equiv 1

$|r| \equiv 1$

| 1 |

$|1|$

W przypadku pokrewnego pytania, czy ktoś wie, czy istnieją analogiczne wyniki dla innych rozkładów poza normalną 2D?

— Riemann1337