Jak rozkłada się minimum zestawu zmiennych losowych?

Jeśli są niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie, co ogólnie można powiedzieć o rozkładzie ?$X_1, ..., X_n$$\min(X_1, ..., X_n)$

Jeśli cdf z $X_i$ jest oznaczony przez $F(x)$ , to cdf minimum jest podane przez $1-[1-F(x)]^n$ .

Jeśli CDF z $X_i$ jest oznaczony przez $F(x)$ , to CDF minimum wynosi $1-[1-F(x)]^n$ .

Uzasadnienie: biorąc pod uwagę $n$ zmiennych losowych, prawdopodobieństwo $P(Y\leq y) = P(\min(X_1\dots X_n)\leq y)$ implikuje, że co najmniej jeden $X_i$ jest mniejszy niż $y$ .

Prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden $X_i$ jest mniejszy niż $y$ jest równoważne jeden minus prawdopodobieństwo, że wszystkie $X_i$ są większe niż $y$ , tj. $P(Y\leq y) = 1 - P(X_1 \gt y,\dots, X_n \gt y)$ .

Jeśli są niezależne, identycznie rozmieszczone, wówczas prawdopodobieństwo, że wszystkie są większe niż wynosi . Dlatego pierwotne prawdopodobieństwo wynosi .$X_i$$X_i$$y$$[1-F(y)]^n$$P(Y \leq y) = 1-[1-F(y)]^n$

Przykład : powiedz , a następnie intuicyjnie prawdopodobieństwo powinno być równe 1 (ponieważ minimalna wartość będzie zawsze mniejsza niż 1 od dla wszystkich ). W tym przypadku więc prawdopodobieństwo wynosi zawsze 1.$X_i \sim \text{Uniform} (0,1)$$\min(X_1\dots X_n)\leq 1$$0\leq X_i\leq 1$$i$$F(1)=1$

Rob Hyndman udzielił łatwej i dokładnej odpowiedzi dla stałego n. Jeśli interesuje Cię zachowanie asymptotyczne dla dużych n, jest to obsługiwane w dziedzinie teorii ekstremalnych wartości . Istnieje mała rodzina możliwych ograniczających dystrybucji; patrz na przykład pierwsze rozdziały tej książki .

Myślę, że odpowiedź 1- (1-F (x)) ^ n jest poprawna w szczególnych przypadkach. Szczególnymi przypadkami jest warunek, że pmf rv opiera się na formule dla domeny rv. Jeżeli będzie różny w różnych częściach domeny powyżej wspomniana formuła nieco odbiega od rzeczywistych wyników symulacji.