Czy suma zmiennej losowej dyskretnej i ciągłej jest ciągła czy mieszana?

Jeśli jest dyskretną, a ciągłą zmienną losową, to co możemy powiedzieć o rozkładzie ? Czy jest ciągły czy mieszany? $X$ $Y$ $X+Y$

Co z produktem ? $XY$

self-study distributions random-variable

— użytkownik666
źródło

Odpowiedzi:

Załóżmy, że przyjmuje wartości z rozkładem dyskretnym , gdzie jest zbiorem policzalnym, a przyjmuje wartości w o gęstości i CDF . $X$ $k \in K$ $(p_k)_{k \in K}$ $K$ $Y$ $\mathbb R$ $f_Y$ $F_Y$

Niech . Mamy które można różnicować w celu uzyskania funkcji gęstości dla określonej przez $Z = X + Y$

P (Z \leq z) = P (X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} P (Y \leq z - X ∣ X = k) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (z - k) p_{k},

$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$

Z

$Z$

f_{Z} (z) = \sum_{k \in K} f_{Y} (z - k) p_{k} .

$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$

Teraz pozwól i przyjmij . Następnie które ponownie można różnicować w celu uzyskania funkcji gęstości. $R = X Y$ $p_0 = 0$

P (R \leq r) = P (X Y \leq r) = \sum_{k \in K} P (Y \leq r / X) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (r / k) p_{k},

$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$

Jednak jeśli , to , co pokazuje, że w tym przypadku ma atom na 0. $p_0 > 0$ $\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$ $XY$

— Joris Bierkens
źródło

Niech będzie dyskretną zmienną losową z funkcją masy prawdopodobieństwa , gdzie jest zbiorem dyskretnym (być może nieskończenie licznym). Zmienna losowa może być traktowana jako ciągła zmienna losowa o następującej funkcji gęstości prawdopodobieństwa $X$ $p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$ $\mathcal{X}$ $X$

f_{X} (x) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) δ (x - x_{k})

$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$

gdzie to funkcja delta Diraca. $\delta$

Jeśli jest ciągłą zmienną losową, to jest hybrydową zmienną losową. Jak wiemy funkcji gęstości prawdopodobieństwa i , możemy obliczyć funkcję gęstości prawdopodobieństwa . Przy założeniu, że i są niezależne, to funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest przez splatanie z funkcji gęstości prawdopodobieństwa i $Y$ $Z := X+Y$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $Z$ $f_X$ $f_Y$

f_{Z} (z) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) f_{Y} (z - x_{k})

$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$

— Rodrigo de Azevedo
źródło

Dlaczego głosowanie negatywne?

— Rodrigo de Azevedo

Tak, jestem również ciekawy opinii negatywnej

— Yair Daon,

@ Yair Nie głosowałem za tym, ale wygląda na mylącą i niepełną odpowiedź. Samo napisanie dystrybucji w postaci delty Diraca nie czyni jej ciągłą! Ta odpowiedź jest również ograniczona, ponieważ (a) nie uwzględnia ogólnych rozkładów dyskretnych, które mogą mieć policzalną nieskończoność atomów oraz (b) domyślnie zakłada, że i są niezależne.

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@ whuber Zgadzam się z (b). Mówi się jednak, że dyskretny RV „można uznać za…”, więc myślę, że dodaje on interesującego widoku.

— Yair Daon

Dlatego napisałem, że twoja odpowiedź jest myląca. Ponieważ pytanie dotyczy rozróżnienia między rozkładami dyskretnymi i ciągłymi - i to rozróżnienie jest kwestią definicji matematycznej, a nie „smaku” - twoje wysiłki w celu pomylenia tych dwóch elementów będą prawdopodobnie mniej niż pomocne.

— whuber

Ta odpowiedź zakłada, że i są niezależne. Oto rozwiązanie, które nie wymaga tego założenia. $X$ $Y$

Edycja: Zakładam, że „ciągły” oznacza „posiadanie pliku pdf”. Jeśli zamiast tego ciągłe ma oznaczać brak atomu, dowód jest podobny; po prostu zamień „Lebesgue null set” na „singleton set” w dalszej części.

Niech obsługa będzie policzalnym zestawem . Użyję $X$ $\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

Lemat: Zmienna losowa jest ciągła, jeśli i tylko dla wszystkich mierzalnych zbiorów Borela z miarą zero Lebesgue'a. $Z$ $P(Z\in E)=0$ $E$

Dowód: użyj twierdzenia Lebesgue-Radon-Nikodym . $\square$

Aby udowodnić, że jest ciągły, weź dowolny zerowy zestaw i zwróć uwagę, że Ale wtedy i tylko wtedy, gdy . Przesunięty zestaw nadal ma wartość Lebesgue null. Ponieważ jest ciągłe, oznacza to, że , więc powyższe sumowanie wynosi zero, co dowodzi, że jest ciągłe. $X+Y$ $E$

P (X + Y \in E) = \sum_{k} P ({Y + x_{k} \in E} \cap {X = x_{k}}) \leq \sum_{k} P (Y + x_{k} \in E)

$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$

Y + x_{k} \in E

$Y+x_k\in E$

Y \in E - x_{k}

$Y\in E-x_k$

E - x_{k}

$E-x_k$

Y

$Y$

P (Y + x_{k} \in E) = 0

$P(Y+x_k\in E)=0$

X + Y

$X+Y$

W przypadku produktów obowiązuje ta sama logika, o ile . Jeśli , to jest dyskretne z . W przeciwnym razie jest nietrywialną mieszanką. $P(X=0)=0$ $P(X=0)=1$ $XY$ $P(XY=0)=1$ $XY$

— Mike Earnest
źródło