Jaka jest różnica między asymptotyczną bezstronnością a konsekwencją?

Czy każda z nich implikuje drugą? Jeśli nie, to czy jedno implikuje drugie? Dlaczego? Dlaczego nie?

Ten problem pojawił się w odpowiedzi na komentarz do zamieszczonej tutaj odpowiedzi .

Chociaż wyszukiwanie w Google odpowiednich haseł nie dało nic, co wydawałoby się szczególnie przydatne, zauważyłem odpowiedź na temat wymiany stosów matematycznych. Myślałem jednak, że to pytanie jest odpowiednie również dla tej witryny.

EDYCJA po przeczytaniu komentarzy

W związku z odpowiedzią math.stackexchange szukałem czegoś bardziej dogłębnego, obejmującego niektóre kwestie poruszone w komentarzu w wątku @whuber . Ponadto, jak widzę, pytanie math.stackexchange pokazuje, że spójność nie oznacza asymptotycznej bezstronności, ale nie wyjaśnia wiele, jeśli w ogóle, dlaczego. Tam PO uważa za pewnik, że asymptotyczna bezstronność nie oznacza konsekwencji, a zatem jedyny dotychczas odpowiadający nie wyjaśnia, dlaczego tak jest.

— user1205901 - Przywróć Monikę
źródło

Odpowiednia dyskusja na czacie zaczynająca się tutaj.

— Stephan Kolassa

Pojęcia związane z tym pytaniem są szeroko omawiane w komentarzach następujących stats.stackexchange.com/a/31038/919 .

— whuber

Kolejny wątek do dyskusji połączony z @whuber znajduje się tutaj: stats.stackexchange.com/questions/120584 .

— ameba

W powiązanym poście na stronie math.se , odpowiadający przyjmuje, biorąc pod uwagę, że definicja asymptotycznej bezstronności to . $\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

Intuicyjnie nie zgadzam się: „bezstronność” to termin, którego uczymy się w odniesieniu do rozkładu (próbka skończona). Bardziej naturalne wydaje się zatem rozważenie „asymptotycznej bezstronności” w odniesieniu do asymptotycznego rozkładu. I tak właśnie robią Lehmann i Casella w „Theory of Point Estimation (1998, 2nd ed) , s. 438 Definicja 2.1 (notacja uproszczona):

$If k_{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ) \to_{d} H$ $\text{If} \;\;\;k_n(\hat \theta_n - \theta )\to_d H$
dla pewnej sekwencji i dla pewnej zmiennej losowej estymator jest asymptotycznie bezstronny, jeśli oczekiwana wartość wynosi zero. $k_n$ $H$ $\hat \theta_n$ $H$

Biorąc pod uwagę tę definicję, możemy twierdzić, że konsystencja implikuje asymptotycznej nieobciążoności od

{\hat{θ}}_{n} \to_{p} θ ⟹ {\hat{θ}}_{n} - θ \to_{p} 0 ⟹ {\hat{θ}}_{n} - θ \to_{d} 0

$\hat \theta_n \to_{p}\theta \implies \hat \theta_n - \theta \to_{p}0 \implies \hat \theta_n - \theta \to_{d}0$

... a rozkład zdegenerowany równy zero ma oczekiwaną wartość równą zero (tutaj sekwencja jest ciągiem jedności). $k_n$

Podejrzewam jednak, że nie jest to tak naprawdę przydatne, jest to jedynie produkt uboczny definicji asymptotycznej bezstronności, która pozwala na zdegenerowane zmienne losowe. Zasadniczo chcielibyśmy wiedzieć, czy gdybyśmy mieli wyrażenie obejmujące estymator, które jest zbieżne z rv bez degenratu, spójność nadal oznaczałaby asymptotyczną bezstronność.

Wcześniej w książce (s. 431 Definicja 1.2) autorzy nazywają właściwość jako „ bezstronność w granicach ” i nie pokrywa się z asymptotyczną bezstronnością. $\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

Bezstronność w limicie jest wystarczająca (ale nie konieczna) do zachowania spójności pod dodatkowym warunkiem, że sekwencja wariancji estymatora osiąga zero (co oznacza, że wariancja istnieje przede wszystkim).

Aby poznać zawiłości związane ze zbieżnością z niezerową wariancją (nieco zadziwiające), odwiedź ten post .

— Alecos Papadopoulos
źródło

Czy rozumiem poprawnie, że w definicji może być dowolną zmienną losową (to znaczy dla pewnej sekwencji i niektórych itp.)? Jeśli tak, to może być wspomniane

H

$H$

k_{n}

$k_n$

H

$H$

— Juho Kokkala

To niefortunne, że ta odpowiedź ośmiela tylko „wystarczająca jest bezstronność w granicach”, a nie „pod dodatkowym warunkiem, że sekwencja wariancji estymatora osiąga zero”. Łatwo jest zostać wprowadzonym w błąd, ponieważ ten dodatkowy warunek jest kluczowy dla tej „wystarczalności”.

— Daegan