Transformacja Fouriera rozkładów

Które rozkłady są ich własną transformacją Fouriera poza rozkładem normalnym i uogólnionym rozkładem łukowym ?

distributions fourier-transform

— Neil G.
źródło

Załóżmy, że transformata Fouriera dla to gdzie gdzie . Odwrotna transformacja to $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \exp (- i 2 π f t) d t

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \exp(-i2\pi f t) \mathrm dt$

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) \exp (i 2 π f t) d f

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \exp(i2\pi f t) \mathrm df$

Niektóre właściwości transformacji Fouriera są następujące:

Transformata Fouriera dla to $X(t)$ $x(-f)$
Jeżeli jest funkcją parzystą wartości rzeczywistej , to jest funkcją parzystą wartości rzeczywistej . $x(t)$ $t$ $X(f)$ $f$

Zatem jeśli jest funkcją parzystą o wartości rzeczywistej , to transformata Fouriera funkcji parzystej o wartości rzeczywistej wynosi $x(t)$ $t$ $X(t)$ $x(f)$

Załóżmy teraz, że jest funkcją parzystej gęstości prawdopodobieństwa (tak, że dla wszystkich ) z dodatkową właściwością, że . Załóżmy również, że jego transformata Fouriera ma właściwość dla wszystkich . Zatem, ponieważ jest nawet nieujemną funkcją wartości rzeczywistej dla obszaru , że jest, jest również funkcją gęstości prawdopodobieństwa o właściwości, że $x(t)$ $x(t) \geq 0$ $t$ $x(0) = 1$ $X(f)$ $X(f) \geq 0$ $f$

x (0) = 1 = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f

$x(0) = 1 = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \mathrm df$

X (f)

$X(f)$

f

$f$

1

$1$

X (f)

$X(f)$

X (0) = 1

$X(0) = 1$ . Jednym z przykładów takiej pary funkcji jest rozkład normalny cytowany przez OP Neila G a innym przykładem jest

x_{1} (t) = \exp (- π t^{2}), X_{1} (f) = \exp (- π f^{2})

$x_1(t) = \exp(-\pi t^2), ~~ X_1(f) = \exp(-\pi f^2)$

x_{2} (t) = (1 - | t |) 1_{[- 1, 1]}, X_{2} (f) = {sinc}^{2} (f) = {\begin{cases} {(\frac{\sin (π f)}{π f})}^{2}, & f \neq 0, \\ 1, & f = 0. \end{cases}

$x_2(t) = (1 - |t|)\mathbf 1_{[-1,1]}, ~~ X_2(f) = \operatorname{sinc}^2(f) = \begin{cases}\displaystyle \left(\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}\right)^2,&f\neq 0,\\ 1,&f=0.\end{cases}$

Zauważ teraz, że to gęstość mieszanki, której transformata Fouriera to co oznacza tę samą gęstość mieszaniny. $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$ $\frac{1}{2} X_2(f) + \frac{1}{2}x_2(f)$

Zatem jeśli jest funkcją gęstości, której transformata Fouriera jest funkcją gęstości, to funkcja gęstości mieszaniny jest własną transformacją Fouriera. $x(t)$ $X(f)$ $\frac{1}{2} x(t) + \frac{1}{2}X(t)$

Wreszcie, biorąc pod uwagę dwie gęstości, które są ich własnymi transformacjami Fouriera, np. i , dowolna gęstość mieszaniny gdzie jest funkcją gęstości, która jest własną transformacją Fouriera. $x_1(t)$ $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$

α x_{1} (t) + (1 - α) [\frac{1}{2} x_{2} (t) + \frac{1}{2} X_{2} (t)]

$\alpha x_1(t) + (1-\alpha)\left[\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)\right]$

α \in [0, 1]

$\alpha \in [0,1]$

— Dilip Sarwate
źródło

(+1) To całkiem sprytne. Należy zauważyć, że aby zagwarantować prawidłową parę transformacji, potrzebujemy warunku całkowitego na . Mianowicie, zagwarantuje, że podana inwersja odzyska odpowiednią gęstość. W pewnym sensie później stosujesz taki warunek. (Już założyłem, że nałożono ograniczenie nieujemności na , więc nie potrzebuje on modułu).

X (f)

$X(f)$

\int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f < \infty

$\int_{-\infty}^\infty X(f) \,\mathrm{d}f < \infty$

X (f)

$X(f)$

— kardynał