Zależność między rozkładem Poissona a rozkładem wykładniczym

Czasy oczekiwania na rozkład Poissona są rozkładem wykładniczym z parametrem lambda. Ale ja tego nie rozumiem. Na przykład Poisson modeluje liczbę przyjazdów na jednostkę czasu. Jak to się ma do rozkładu wykładniczego? Powiedzmy, że prawdopodobieństwo przybycia k w jednostce czasu wynosi P (k) (modelowane przez Poissona), a prawdopodobieństwo k + 1 to P (k + 1), w jaki sposób rozkład wykładniczy modeluje czas oczekiwania między nimi?

Użyję następującego zapisu, aby zachować jak największą spójność z wiki (na wypadek, gdybyś chciał przechodzić między moją odpowiedzią a definicjami wiki dla poissona i wykładniczego ).

$N_t$ : liczba przylotów w okresie$t$

$X_t$ : czas potrzebny na przybycie jednego dodatkowego przybycia przy założeniu, że ktoś przybył w czasie$t$

Z definicji następujące warunki są równoważne:

$(X_t > x) \equiv (N_t = N_{t+x})$

Zdarzenie po lewej przechwytuje zdarzenie, że nikt nie przybył w przedziale czasowym co oznacza, że ​​nasza liczba przylotów w czasie jest identyczna z liczbą w chwili która jest wydarzenie po prawej stronie.$[t,t+x]$$t+x$$t$

Zgodnie z zasadą dopełniania mamy również:

$P(X_t \le x) = 1 - P(X_t > x)$

Używając równoważności dwóch zdarzeń, które opisaliśmy powyżej, możemy ponownie napisać powyższe jako:

$P(X_t \le x) = 1 - P(N_{t+x} - N_t = 0)$

Ale,

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = P(N_x = 0)$

Używając poissona pmf powyższego, gdzie jest średnią liczbą przylotów na jednostkę czasu, a ilość jednostek czasu, upraszcza:$\lambda$$x$

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{-\lambda x}$

to znaczy

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = e^{-\lambda x}$

Podstawiając się w naszym oryginalnym eqn, mamy:

$P(X_t \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$

Powyżej jest format pdf wykładniczego pliku pdf.

W przypadku procesu Poissona trafienia występują losowo niezależnie od przeszłości, ale ze znaną długoterminową średnią częstotliwością trafień na jednostkę czasu. Rozkład Poissona pozwoliłby nam znaleźć prawdopodobieństwo uzyskania określonej liczby trafień.$\lambda$

Teraz zamiast patrzeć na liczbę trafień, patrzymy na losową zmienną (dla Lifetime), czas, w którym musisz czekać na pierwsze trafienie.$L$

Prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania jest dłuższy niż podana wartość czasu, to (według rozkładu Poissona, gdzie ).$P(L \gt t) = P(\text{no hits in time t})=\frac{\Lambda^0e^{-\Lambda}}{0!}=e^{-\lambda t}$$\Lambda = \lambda t$

$P(L \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$ (funkcja rozkładu skumulowanego). Możemy uzyskać funkcję gęstości, biorąc pochodną tego:

Każda zmienna losowa, która ma taką funkcję gęstości, jest rozkładana wykładniczo.

Pozostałe odpowiedzi dobrze wyjaśniają matematykę. Myślę, że warto rozważyć fizyczny przykład. Kiedy myślę o procesie Poissona, zawsze wracam do idei przejeżdżających samochodów. Lambda to średnia liczba samochodów, które przejeżdżają w jednostce czasu, powiedzmy 60 / godzinę (lambda = 60). Wiemy jednak, że faktyczna liczba będzie się różnić - o kilka dni dłużej, a kilka dni krócej. Rozkład Poissona pozwala nam modelować tę zmienność.

Obecnie średnio 60 samochodów na godzinę to średnio 1 samochód przejeżdżający w każdej minucie. Znów wiemy jednak, że między przyjazdami będzie istniała zmienność: czasami więcej niż 1 minuta; innym razem mniej. Rozkład wykładniczy pozwala nam modelować tę zmienność.

To powiedziawszy, samochody przejeżdżające po drodze nie zawsze będą podlegały procesowi Poissona. Na przykład, jeśli tuż za rogiem jest sygnał drogowy, przyjazdy będą grupowane zamiast stałych. Na otwartej autostradzie powolna przyczepa ciągnikowa może utrzymywać długą linię samochodów, co ponownie powoduje pękanie. W takich przypadkach rozkład Poissona może nadal działać dobrze przez dłuższy czas, ale wykładniczy nie powiedzie się źle w modelowaniu czasów przyjazdu.

Należy również zauważyć, że istnieje ogromna zmienność w zależności od pory dnia: bardziej zajęty w czasie dojazdów do pracy; znacznie wolniej o 3 nad ranem. Upewnij się, że lambda odzwierciedla konkretny okres, który rozważasz.

Rozkład Poissona jest zwykle uzyskiwany z rozkładu dwumianowego (oba dyskretne). Znajdziesz to na Wiki.

Jednak rozkład Poissona (dyskretny) można również wyprowadzić z rozkładu wykładniczego (ciągły).

Dodałem dowód na Wiki (link poniżej):

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution