Czy istnieje wzór na obliczanie mediany?

10

Czy istnieje odpowiednik średniej formuły:

m e a n = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} X_{i}

$\begin{equation} \mathrm{mean} = \cfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \end{equation}$

dla mediany?

median definition

— Craig
źródło

16

Jeśli zdefiniujesz jako posortowaną wersję oryginalnych danych , wówczas mediana zostanie zdefiniowana jako: $O_1, O_2, \ldots, O_N$ $X_1, X_2, \ldots, X_N$

M e d i a n ({O_{1}, O_{2}, \dots, O_{N}}) = {\begin{cases} O_{(N + 1) / 2} & i f N i s o d d \\ (O_{N / 2} + O_{N / 2 + 1}) / 2 & o t h e r w i s e \end{cases}

$\mathrm{Median}(\{O_1, O_2, \ldots, O_N\}) = \left\{\begin{array}{ll} O_{(N+1)/2} & \mathrm{if}~N~\mathrm{is~odd} \\ (O_{N/2}+O_{N/2+1})/2 & \mathrm{otherwise}\end{array}\right.$

Bez porządkowania danych możesz użyć definicji mediany geometrycznej, aby zdefiniować medianę w jednym wymiarze:

M e d i a n ({X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N}}) = \arg min_{y} \sum_{i = 1}^{N} | X_{i} - y |

$\mathrm{Median}(\{X_1, X_2, \ldots, X_N\}) = \arg\min_{y} \sum_{i=1}^N \big|X_i-y\big|$

Zauważ, że niekoniecznie oznacza to unikalną medianę, gdy liczba parzystych punktów jest równa; na przykład dowolna liczba optymalizuje cel z . $y\in[3, 4]$ $X = \{2, 3, 4, 5\}$

— josliber
źródło

3

Formularz dla nawet nie jest jedyną odpowiedzią - jest to tylko konwencja. Każda wartość między a może być rozsądnie nazwana „medianą”

N

$N$

O_{N / 2}

$O_{N/2}$

O_{N / 2 + 1}

$O_{N/2+1}$

— prawdopodobieństwo

1

@probabilityislogic Na pewno. Dodałem geometryczną definicję mediany, która niekoniecznie jest unikalna nawet dla

N

$N$

— josliber

10

Jednym z alternatywnych sposobów wyrażenia średniej jest oszacowanie „najmniejszych kwadratów”:

\sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - m)^{2}

$\sum_{i=1}^N (X_i - m)^2$

Wybranie jako średniej daje najmniejszą wartość sumy kwadratów błędów. $m$

Teraz medianę można wyrazić jako oszacowanie „najmniejszych odchyleń bezwzględnych”:

\sum_{i = 1}^{N} | X_{i} - m |

$\sum_{i=1}^N |X_i - m|$

Wybranie jako mediany daje najmniejszą wartość sumy błędów bezwzględnych. $m$

— prawdopodobieństwo prawdopodobieństwa
źródło

0

Mediana to wartość odpowiadająca połowie kwantyla, czyli połowa wartości jest wyższa, połowa jest mniejsza (wybacz mi za ignorowanie przypadków z równością lub gdy zbiór jest parzysty ...). Tak, że biorąc pod uwagę, że plik pdf zestawu danych jest znany, rozkład skumulowany można łatwo ocenić. Zwracając uwagę na tej funkcji, a następnie $p_X$ $X_1 \cdot X_n$ $P_X$

m e d i a n = P_{X}^{- 1} (\frac{1}{2})

$median = P_X^{-1}(\frac 1 2)$

Weźmy na przykład przypadek dla kątów w tej metodzie użytej w tym artykule przeglądowym do wyrównywania histogramu. Lewy dolny panel pokazuje pdf kątów w zestawie naturalnych obrazów. to rozkład skumulowany, a mediana to wartość odpowiadająca wartości , czyli w tym przypadku około . $p(\theta)$ $P(\theta)$ $\theta$ $1/2$ $0$

— meduz
źródło