Szacowanie średniej i odchylenia ściętej krzywej gaussa bez skoku

11

Załóżmy, że mam czarną skrzynkę, która generuje dane po rozkładzie normalnym ze średnią mi odchyleniem standardowym s. Załóżmy jednak, że ilekroć wypisze wartość <0, niczego nie rejestruje (nawet nie jest w stanie powiedzieć, że otrzymała taką wartość). Mamy ścięty rozkład gaussa bez kolca.

Jak mogę oszacować te parametry?

distributions estimation

Zmieniłem tag z „truncated-gaussian” na „truncation”, ponieważ większość odpowiedzi będzie potencjalnie przydatna w sytuacjach związanych z innymi dystrybucjami.

— whuber

7

Model dla twoich danych to:

$y_i \sim N(\mu,\sigma^2) I(y_i > 0)$

Zatem funkcja gęstości to:

fa (y_{ja} | -) = \frac{mi x p (- \frac{(y_{ja} - μ)^{2)}}{2) σ^{2)}})}{\sqrt{2) π σ} (1 - ϕ (- \frac{μ}{σ}))}

$f(y_i|-) = \frac{exp(-\frac{(y_i-\mu)^2}{2 \sigma^2})}{\sqrt{2 \pi \sigma}\ (1 - \phi(-\frac{\mu}{\sigma}))}$

gdzie,

jest standardowym normalnym cdf. $\phi(.)$

Następnie można oszacować parametry i stosując metody największego prawdopodobieństwa lub metody bayesowskie. $\mu$ $\sigma$

3

Jak zasugerował Srikant Vadali, Cohen i Hald rozwiązali ten problem za pomocą ML (z wyszukiwarką korzeni Newtona-Raphsona) około 1950 r. Kolejnym artykułem jest „Szacowanie w okrojonej normalnej dystrybucji” Maxa Halperina dostępne dla JSTOR (dla osób z dostępem). Googling „skrócone oszacowanie gaussowskie” produkuje wiele przydatnych wyglądów hitów.

Szczegółowe informacje znajdują się w wątku, który uogólnia to pytanie (ogólnie do skróconych dystrybucji). Zobacz estymatory największego prawdopodobieństwa dla skróconego rozkładu . Może to być również interesujące porównać estymatory największej prawdopodobieństwo do rozwiązania danego Maximum Entropy (z kodem) w Max Entropy Solver w badania .

— Whuber
źródło

2

$a=0$ $\mu_t$ $\sigma_t$

$\mu$ $\sigma$

$\mu = \bar{x}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i$

$\sigma = s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$
$TB=a=0$ $\bar{x}$

$TB = a$ $\bar{x} \le 3s$
$\omega, P_3(\omega), P_4(\omega)$ $Q(\omega)$

$\omega = \frac{s^2}{(a-\bar{x})^2}$

$P_3(\omega) = 1+5,74050101\omega - 13,53427037\omega^2 + 6,88665552\omega^3$

$P_4(\omega) = -0,00374615 + 0,17462558\omega - 2,87168509\omega^2 + 17,48932655\omega^3 - 11,91716546\omega^4$

$Q(\omega) = \frac{P_4(\omega)}{P_3(\omega)}$
$\omega \le 0,57081$ $\mu_t$ $<0$
$\mu_t$ $\sigma_t$

$\mu_t = \bar{x} + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})$

$\sigma_{t}^{2} = s^2 + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})^2$

To wszystko...

— JFS
źródło