Jak możemy symulować geometryczną mieszaninę?

Jeśli $f_1,\ldots,f_k$ są znanymi gęstościami, z których mogę symulować, tj. Dla których dostępny jest algorytm. a jeśli iloczyn

\prod_{i = 1}^{k} f_{i} (x)^{α_{i}} α_{1}, \dots, α_{k} > 0

$\prod_{i=1}^k f_i(x)^{\alpha_i}\qquad \alpha_1,\ldots,\alpha_k>0$ jest do zabudowy, istnieje ogólne podejście do symulacji z tego gęstości produktu, stosując symulator z

f_{i}

$f_i$ „s?

— Xi'an
źródło

α_{i} = 1

$\alpha_i=1$

ϵ > 0

$\epsilon\gt 0$

f_{i}

$f_i$

I_{i}

$I_i$

f_{i} \leq 1

$f_i\le 1$

\underset{i}{Pr} (I_{i}) > 1 - ϵ

$\Pr_i(I_i)\gt 1-\epsilon$

0 < f_{i} < ϵ

$0\lt f_i\lt \epsilon$

I_{i} \cap I_{j} = \emptyset

$I_i\cap I_j=\emptyset$

i \neq j

$i\ne j$

I_{i}

$I_i$

\prod f_{i}

$\prod f_i$ pozornie niezwiązane z .) Co jeszcze możesz nam powiedzieć o ?

I_{i}

$I_i$

f_{i}

$f_i$

— whuber

(+10) Prawidłowo! Użycie mniejszego doprowadziłoby jednak do spłaszczenia wszystkich elementów, a tym samym sprzyjałoby nakładaniu się ich skutecznych podpór ...

α_{i}

$\alpha_i$

— Xi'an

Jak whuber powiedział, że szczelność będzie problemem, więc wziąłbym transformację (LUB preferencyjne próbkowanie), aby anulować szczelność przed wygenerowaniem losowych próbek. Jest jedno konstruktywne podejście, które, jak sądzę, czytałem jakiś czas temu. Sekcja 10.7 link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-0209-7_10 Nie jestem pewien, czy można tutaj również zastosować dyskretyzację.

— Henry.L

Oczywiście istnieje algorytm akceptacji-odrzucenia, który zaimplementowałbym dla twojego przykładu jako:

(Inicjalizacja) Dla każdego znajdź . Edycja odzwierciedlając komentarz Xi'an jest poniżej: Wybierz rozkład , która odpowiada najmniejszej . $i$ $A_i = \sup_x \{\Pi_{j=1}^k f_j(x)^{\alpha_j}/f_i(x)\}$ $f_i$ $A_i$
Generowania u . $x$ $f_i$
Oblicz . $\alpha = \Pi_{i=j}^k f_j(x)^{\alpha_j} / (A_if_i(x))$
Wygeneruj . $u \sim U(0,1)$
Jeśli , zwróć , w przeciwnym razie przejdź do 2. $u \leq \alpha$ $x$

Oczywiście w zależności od dystrybucji możesz mieć bardzo niski wskaźnik akceptacji. Tak się składa, że oczekiwana liczba iteracji jest równa wybranej (zakładając ciągłe rozkłady), więc przynajmniej ostrzegasz z góry. $A_i$

— łucznik
źródło

(+1) Rzeczywiście rozwiązanie! Zakładając, że granice

istnieją dla wszystkich

. Lub nawet kilka

dydaktycznego. Porównując

„s [zakładając, że są ograniczone] może również pomóc w wyborze najbardziej efektywne

A_{i}

$A_i$

i

$i$

i

$i$

A_{i}

$A_i$

f_{i}

$f_i$

— Xi'an

Nie myślałem o tym, ale oczywiście masz rację,

s sami są bardzo pouczające, ponieważ są one również równa oczekiwanej liczbie iteracji potrzebnych do faktycznie generuje liczbę losową, jeśli trzymać się jednego

całej . Więc chciałbyś wybrać rozkład z najmniejszym

do korzystania przez cały czas. Przeredaguję odpowiedź, aby Twój komentarz nie zgubił się w komentarzach.

A_{i}

$A_i$

i

$i$

A_{i}

$A_i$

— jbowman

Oznacza to, że przy założeniu, że wszystkie

„S są odpowiednio znormalizowane [wprowadzając do jednego], która nie zawsze jest standardowym zjawisko.

f_{i}

$f_i$

— Xi'an