Co to znaczy całkowanie na podstawie losowej miary?

Obecnie patrzę na artykuł z modelu efektów losowych procesu Dirichleta, a jego specyfikacja jest następująca: gdzie jest parametrem skali a jest miarą podstawową. W dalszej części artykułu sugeruje, że zintegrujemy funkcję nad miarą podstawową taką jak Czy podstawową miarą w procesie Dirichleta jest cdf, czy jest to pdf? Co się stanie, jeśli miarą podstawową jest gaussowski?

\begin{aligned} y_{ja} & = X_{ja} β + ψ_{ja} + ϵ_{ja} \\ ψ_{ja} & \sim sol \\ sol & \sim re P. (α, {sol}_{0}) \end{aligned}

$\begin{align*}y_{i} &= X_{i}\beta + \psi_{i} + \epsilon_{i}\\ \psi_{i} &\sim G \\ G &\sim \mathcal{DP}\left(\alpha, G_{0}\right) \end{align*}$

α

$\alpha$

G_{0}

$G_{0}$

G_{0}

$G_{0}$

\int fa (y_{jot} | θ, ψ_{jot}) re {sol}_{0} (ψ_{jot}) .

$\int f\left(y_{j}|\theta, \psi_{j}\right)\, dG_{0}\left(\psi_{j}\right).$

— Daeyoung Lim
źródło

Oznacz przez $\mathcal{M}$ mierzalna przestrzeń miar prawdopodobieństwa, zawierająca realizacje procesu Dirichleta. Losowa miara prawdopodobieństwa $G$ jest funkcją mierzalną

sol : ω \mapsto {sol}_{ω} \in M.

$G : \omega \mapsto G_\omega \in \mathcal{M}$ i całka w odniesieniu do

G

$G$ jest zmienną losową

\int fa (\cdot | ψ) re sol (ψ) : ω \mapsto \int fa (\cdot | ψ) re {sol}_{ω} (ψ) .

$\int f(\,\cdot\,|\, \psi) dG(\psi) : \omega \mapsto \int f(\,\cdot\,|\,\psi) dG_\omega(\psi).$ A zatem

\int f (\cdot | ψ) d G (ψ)

$\int f(\,\cdot\,|\, \psi) dG(\psi)$ sam jest losowym plikiem pdf (jeśli

f (\cdot | ψ)

$f(\cdot| \psi)$ to pdf).

Chodzi o to, że $\psi_i$ następuje nieznana dystrybucja $G$ . W niektórych przypadkach możesz mieć powody, by w to wierzyć $\psi_i$ jest zwykle dystrybuowane, a następnie kładzie nacisk na średnią i wariancję. W innych przypadkach nie chcesz przyjmować takich parametrycznych założeń. Na przykład w twoim modelu wcześniej $G$ jest procesem Dirichleta.

Czy podstawową miarą w procesie Dirichleta jest cdf, czy jest to pdf?

Miarą podstawową jest jakakolwiek miara prawdopodobieństwa, zwykle przyjmowana w celu uzyskania pełnego wsparcia. W niektórych przypadkach można to przedstawić za pomocą funkcji gęstości prawdopodobieństwa. To nie jest bardzo ważne.

— Olivier
źródło